【附解析】九年级数学上册23.2 解直角三角形及其应用（第4课时）名师教案 新沪科版.docVIP

第4课时　解直角三角形的应用 教学目标 1．了解横断面图、坡度、坡角和有关角度的问题，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题． 2．能够把实际问题转化为解直角三角形问题，从而把实际问题转化为数学问题来解决． 3．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识． 教学重难点 理解坡度的有关术语，解决有关坡度的实际问题． 教学过程 导入新课 长江三峡水利枢纽，是当今世界上最大的水利枢纽工程．放眼世界，从大海深处到茫茫太空，人类征服自然、改造自然的壮举中有许多规模宏大技术高超的工程杰作．三峡工程在工程规模、科学技术和综合利用效益等许多方面都堪为世界级工程的前列．它不仅将为我国带来巨大的经济效益，还将为世界水利水电技术和有关科技的发展作出有益的贡献． 这节我们将学习水库大坝的有关问题． 推进新课 一、合作探究 【问题1】 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m)． 通过前面的学习，学生已了解了坡度与坡角的概念，也基本了解了解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决． 引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD＝AE＋EF＋FD，AE，DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF＝BC＝6 m，从而求出AD． 以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生的运算能力． 解：作BE⊥AD，CF⊥AD， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ＝，＝， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)， FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)． ∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)． ∵斜坡AB的坡度i＝tan α＝≈0.333 3，查表得α≈18°26′. AB＝BE÷sin α＝72.7(m)． 答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m. 在求AB时，也可由＝及勾股定理得出BE∶AB＝1∶，∴AB＝23≈72.7(m)． 【问题2】 利用上面的方法，你能解决下面的问题吗？ 一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽．(精确到0.1米) 给学生充分的时间，以便让学生思考，写出解答过程．让一名学生上台板演． 二、巩固提高 (1)横断面(等腰梯形)ABCD的面积； (2)修一条长为100米的渠道要挖去的土方数． 分析：(1)引导学生将实际问题转化为数学问题． (2)要求等腰梯形ABCD的面积，首先要求出AD，如何利用条件求AD? (3)土方数=等腰梯形ABCD的面积×100. 解：(1)∵渠道内坡度为1∶0.5，渠深BE为0.6米， ∴AE=0.5×0.6=0.3(米)． ∵等腰梯形ABCD， ∴FD=AE=0.3(米)． ∴AD=2×0.3+1=1.6(米)． ∴等腰梯形ABCD的面积为×(1.6+1)×0.6=0.78(米2)． (2)总土方数=截面积×渠长=0.78×100=78(米3)． 答：横断面ABCD面积为0.78平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为78立方米． 三、达标训练 1．一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD．(单位：米，结果保留根号) 2．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(精确到0.01海里) 分析：因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形：△ACP与△PCB．PC是东西走向的一条直线，AB是南北走向的一条直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BCP均为直角．再通过65°角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34°角与∠BPC互余的关系求∠BPC． 3．一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°.从斜坡的起点至屋门的最短的水平距离该是多少？(精确到0.1米) 本课小结 1．在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关