2018年高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式（第1课时）课件 新人教A版选修4-5.pptVIP

2. 柯西不等式的向量形式: 定理2：设α、β是两个向量，则|α?β|≤|α||β|当且仅当β是零向量或存在实数k，使α=kβ时，等号成立. ∴|cosθ|≤ 1， 当向量α、β 中有零向量或|cosθ|= 1 (即向量α、β 共线)，等号成立 ∴|α?β|=|α||β||cosθ|≤ |α||β|， 即|α?β|≤ |α||β|. (2) 证明： . 分析:平方 → 应用柯西不等式 当且仅当ad=bc时，等号成立. . 讨论：其几何意义？（构造三角形） 这个图中有什么不等关系? 设点P1(a,b), P2(c,d); P2(c,d) O P1(a,b) o ? P1(a,b) ?P2(c,d) ②当a=c=0或b=d=0时，ad=bc，等号成立； 二维形式的柯西不等式（1） 教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 2. 练习：已知a、b、c、d为实数， 求证: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 证法：（比较法）: ∵(a2+b2)(c2+d2) –(ac+bd)2 = a2d2–2acbd+ b2c2 =(ad-bc)2≥0 ∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时，等号成立. 教学过程： 一、复习准备： 你能简明地写出这个定理的其它证明？ 证明：） . ∵(a2+b2)(c2+d2) = a2c2+b2d2+a2d2+ b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 ∵(ad-bc)2≥0, ∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 (1) 二、讲授新课： 1. 二维形式的柯西不等式： 当且仅当ad=bc时，等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 证明:∵a、b∈R 可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮！ 柯西不等式的几何意义： o y x β(c,d) α (a,b) θ ∴|cosθ|≤ 1， 当向量α、β 中有零向量或|cosθ|= 1 (即向量α、β 共线)，等号成立 ∴|α?β|=|α||β||cosθ|≤ |α||β|， 用平面(二维)向量坐标表示不等式(2)得 即|α?β|≤ |α||β|. (2) (1)式 与(2)式的关系？ (1)式是(2)式的坐标表示，(1)式的几何意义是(2). * * * * * * *