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把“真实”的思维过程还给学生 朱玉山 【内容摘要】：由于教师讲的太多、启发不当等因素，使数学课堂教学中所展现的思维过程有些“假”的现象，从思维科学论和逻辑学的角度提出：要让数学课堂教学中所展现的思维过程更加真实、科学。 【关键词】：数学思维过程 真实科学 数学思维的方式 启发引导 一、问题的提出 《数学课程标准》提出：数学教学过程实际上是数学思维活动的过程。在这一过程中，学生在教师的启发点拨下，围绕数学问题展开讨论，进而获取数学知识、培养数学思维能力。由此可见，在教学过程中，教师如何让学生展开数学思维？呈现一种什么样的思维过程？非常值得我们认真地研究。 在听课中我们经常会看到这样一种现象：为了启发引导学生解决某个数学问题，教师根据教材或自己的想法以问题链的形式设计了一个教学思路，从表面上看，教师采用了启发式教学，教学过程很顺利——学生按照教师的问题链很快就找到了解决这一问题的思路和方法，可学生事后却说：“我审题后并不是这样想的。”“老师是怎么想到这个好方法的？” 例如：已知，请用不等号将、和连结起来。 教师的教学设计如下： （1）根据已经学过的弧度制角的定义和三角函数线的知识，请大家想一想：我们可以用什么来帮助解决这个问题？（学生答：可以用单位圆和三角函数线来帮助解决这个问题。） （2）你能在以坐标原点为圆心的单位圆中把要比较的三个量所对应的图形表示出来吗？（让学生画图。） （3）现在请大家看一看图，这三个量谁大谁小？（学生很快得出：） 思考：这个过程比过去的填鸭式教学好多了，但仔细分析我们不难发现： （1）分析过程中的主要思路或思维是教师的，而不是学生的。学生被教师牵着鼻子走，学生的思维难以展开。 （2）教师给学生的这一个思维过程可能是“假”的，就是说教师最初遇到这个题目时也许并不是这样想的，或者说许多人拿到这个题目时不都这样想。如很容易看出，因为设为角终边上任一点的坐标，=||，则有=, =,当为锐角时，,（或者因为=, 当为锐角时，, 1）。接下来的问题是如何判断与另外两个量的大小，因为是角，另外两个量是三角函数值，用代数的方法直接比较它们的大小有困难，所以我们根据弧度制角的定义将写成=，然后用三角函数线来帮助解决问题……又一种想法：既然题目要求用“”将三个量连接起来，那么当为锐角时，这三个量的大小关系是确定的，用特殊值很容易得出。 国外有一位著名的科学家，教学时喜欢把自己的最真实的想法告诉学生，甚至对有些问题“事先不做准备”，当场与学生一起解决，深得学生好评。他这样做的目的是想让学生掌握最真实的而且是科学的思维方法，这也是素质教育向我们提出的要求。因此，在教学过程中我们一定要给学生一个真实而科学的思维过程。 二、真实而科学的思维过程 数学课堂教学中的思维过程，由于许多人对同一个问题的思维过程一般不同，所以就显得复杂。为了少走弯路，为了在有限的时间内让学生顺利地弄懂所学的知识和解决问题，有些教师在备课时对教材的思路和自己的想法进行了加工，使得学生按照老师的设计线路很方便地就找到了解题途径，而学生自己的许多想法却得不到交流，真实的思维不能展现，这就是所说的“假”思维。相反，如果按照数学思维的规律和方式方法，去启发引导学生思考，让学生的一些主要想法、合符情理的思维过程都展现出来，这就是真实而科学的思维过程。 例如：推导两角和的正、余弦公式 启发学生展开数学思维活动过程： （1）弄清题意：题目实际上就是把和的正、余弦值作为已知，求的正、余弦值。 （2）将题目的条件和问题与已学过的知识做比较，把任意角的三角函数的定义及三角函数线、同角三角函数的基本关系、诱导公式和两点间的距离公式作为解答本题目的重要依据。 （3）选择方向并设计方案：由于 与和为三个不同角，所以暂不考虑将同角三角函数的基本关系作为解决问题的切入口。有两个思路可以考虑：第一，从任意角的三角函数的定义出发，在直角坐标系和单位圆中，作出角、和，找到和的正、余弦值以及的正弦值或余弦值，然后再寻找它们之间的关系。第二，由于有诱导公式，所以可先考虑和都为锐角时的情况，然后再考虑和中至少有一个为直角以及和都为任意角的情况。结合初中所学三角函数知识，想到在直角三角形中研究。 （4）按照上面的两个思路分别继续加以研究：第一个思路是教材中的，按照这个思路首先得到了两角和的余弦公式，然后再利用两角和的余弦公式推得两角和的正弦公式（本文略）。下面对第二个思路作进一步探讨： 当和都为锐角时： ∵ ∴ …… 第二种思路研究到上面为止我们已感到此方法虽然可行但比第一种思路要繁些，所以下面的过程可让学生在课后继续进行。值得一提的是，尽管第二种思路比第一种思路要繁些，尽管引出第二种思路占用了我们的一些时间，但这是学生易想到的，是真实的、合理的，这