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高等连续介质力学讲义（草稿） 霍永忠、姚伟，2008年9月12日 主要参考书 冯元桢，连续介质力学导论（第三版）重庆大学出版社，1997 黄筑平，连续介质力学基础，高等教育出版社，2003 匡震邦，非线性连续介质力学，上海交通大学出版社，2002 金明，非线性连续介质力学教程，清华大学出版社，北京交通大学出版社，2005 Morton E., Gurtin, An introduction to continuum mechanics, Academic Press, 1981 Romesh C. Batra, Elements of continuum mechanics, AIAA, John Wiley＆Sons.Inc, Chichester, 2006 Atkin, R. J. (Raymond John), An introduction to the theory of elasticity, Longman, New York, 1980 Holzapfel, Gerhard A., Nonlinear solid mechanics: a continuum approach for engineering, John Wiley＆Sons.Inc, Chichester, 2000 1．导论 1.1 将工程中的力学问题变为准确的数学描述 工程范例：飞机，火箭，桥梁，气候，能源，交通…… 力学问题：力，运动，流动，变形，能量，构型 物体间及体内各部分的相互影响 物质特性变化：暂时——永久，可逆——不可逆 数学描述：微分方程和边界条件——数学模型 求 解：解析，半解析，数值 本课程的目的：构建上述数学模型的一些基本原理和方法 对 象：可作为连续介质的物体 1.2 尺度与多尺度效应 空间：宏观：肉眼所见 0.1mm—km 微观：100 光学显微镜：1—100 电子显微镜：1nm— 地质：km—10km， 天文：光年 在确定原子存在前，很自然的将物质作为连续介质，引入密度，速度，应力，并认为这些为连续可微的函数。可能在局部的界面不连续：如激波，相界面… 时间：通常：1s—100y 原子和分子：s 地质：y 天文：y 思考题： 原子是否存在？如何证明？历史上何时第一次确认？ 已知显微组织、晶粒、原子、分子等微观尺度的存在，连续介质假设还能用吗？其适用范围如何？ 显微组织，晶粒等微观尺度对宏观尺度性能的影响，如何反映？ 在宏观的尺度下，连续介质也只是一个假设还是严格成立？ 小空间尺度的物体运动速度一定很快吗？为什么？ 中的时间t应该如何理解？ 在通常时间尺度下，速度是否也是近似假设？ 尺度效应举例： 固体：表面原子数体内原子数≈ R越小，表面效应越明显；小尺度效应：纳米材料，与量子效应有联系 流体：Knudsen数，， 平均自由程，空间尺度。 298K，1大气压： ：连续介质，Navier-Stokes方程 ：滑移流 ：过度流 MEMS，NEMS ：自由分子流 多尺度效应：不同尺度间耦合效应 多尺度模拟：同时考虑多个尺度耦合影响的模型 归纳和演绎， 简化，分离与抽象 1.3 “连续”近似，连续性假设 物体：三维欧氏空间的一个区域，，闭集，包含边界。 物质点：，对应了一个微元，其内有大量的原子，分子。 密度：， 温度： 位移：，速度：，应力： 1.4 基本定律 运动方程：质量守恒，动量平衡（Newton第二定律），动量矩平衡，能量平衡（热力学第一定律），Maxwell 方程（电磁场）。 本构方程：客观性原理，对称性原理，熵增原理（热力学第二定律） 2 向量和张量 一个美丽的故事需要用美丽的语言描述，力学的语言是张量。（冯元桢） 2.1 向量 ，Euclead空间 线性空间 3），内积，，，叉乘，点积 2.2 基与坐标 3个线性无关的向量，构成一组基 （Einstein求和约定） Einstein求和约定：两个相同的指标就是求和，不允许有多于2个相同的指标 标准正交基 , Kronecker符号, 置换符号 习题： 2.1 证明：设，有 2.2 证明：是构成六面体的体积 2.3 证明： 2.4 写出柱与球坐标的标准正交基，及其与直角坐标间的过渡矩阵。 2.3 基变换与坐标变换 基与存在过渡矩阵 ＝ 标准正交基 正交矩阵 ， 2.4 张量 0阶张量：数 1阶张量：向量