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第四讲 导数与不定积分 §4.1 导数 一、一元函数的导数 (一)一元函数的导数概念和定义 1、函数在点处的导数 定义：设函数在内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作，，. 几何意义：表示函数在点处切线的斜率，即切线与轴所成倾角的正切. 函数在点处的导数表示: , ,. 或 ,或,. 2、左导数和右导数 (1)右导数 定义：设函数在内有定义，若极限存在，并称该极限为函数在点处的右导数，记作. (2) 左导数 定义：设函数在内有定义，若极限存在，并称该极限为函数在点处的左导数，记作. 存在. 例如，函数在点处连续，但函数在点处的导数不存在.用函数在点处的左右导数存在但不相等可证明上面的结论. 结论: 函数在点处连续，但函数在点处不一定可导.函数在点处可导，则函数在点处连续. 3、导函数 定义：设函数在区间内有定义，对，若极限存在，我们称该极限为函数在区间内的导函数，记作，，，. 定义：设函数在区间上有定义，若函数在区间内的任意一点都可导，并且函数在点的左导数存在，我们称函数在区间上可导. 4、函数的高阶导数 ；. (二) 一元函数的求导方法 1、显函数的求导法 (1)定义法:; ；. (2)公式与运算法则法：利用基本初等函数的导数公式和函数的基本求导法则求函数的导数. 基本初等函数的求导公式： ① （为常数）； ② （为任意实数）； ③ (); ④ ，; ⑤；.；；；. ⑥；；；. 基本求导法则 ①； ②；（为常数）; ③，;④.. 基本初等函数的求导公式的组成结构：用定义得：，，，，，；；（为常数）; ;.; , 然后利用上述结果证明其它求导公式. 例如，用导数的定义证明. 证明 因为 , 所以. 然后用该公式和反函数的求导法则可得到求导公式 (). 再例如，用导数的定义证明 , 用该公式和可得到求导公式. 再例如, 用函数导数的定义证明 . 2、隐函数的求导法 (1) 方程确定隐函数 对方程两端求的导数，则有，进而可求得. 对方程两端求微分，则有，进而有，故. (2)方程确定隐函数 对方程两端求的导数，则有，进而可求得. 对方程两端求微分，则有，进而有，故. 例如,已知,求. ,,所以. 对等式两边求微分. 例如,已知,求. 因为，所有，进而. 说明：上面用到微分形式的不变性，即虽然是的函数，但，进而，而不用写成. 二、二元函数的偏导数和方向导数 1、二元函数偏导数和方向导数的概念和定义 (1)二元函数的偏导数的概念和定义 定义：设函数，.若,且在的某邻域内有定义,则当极限 存在时,我们该极限为函数在点处的偏导数，记作，. 定义：设函数，.若,且在的某邻域内有定义,则当极限 存在时,我们该极限为函数在点处的偏导数，记作，. 偏导数的几何意义 表示曲线上点的切线在轴方向上的斜率，即切线与轴正向所成倾角的正切. 表示曲线上点的切线在轴方向上的斜率，即切线与轴正向所成倾角的正切. (2) 二元函数在点处的偏导函数 ； . (3)二元函数的方向导数的概念和定义 定义：设函数在点的某邻域内有定义,为从出发的射线，其方向数为.为且含于内的任意一点，，若极限 存在，则称该极限为函数点沿方向的方向导数，记作，，. 显然，其中为的方向余弦所构成的向量，，. 说明：偏导数是方向导数的特例，当的方向余弦所构成的向量为时，；当的方向余弦所构成的向量为时，. （4）二元函数在点处的高阶偏导数 ，，，. ，，，， ，，，. 2、二元函数的偏导数和方向导数的计算 (1)显函数的偏导数的计算 ①用一元函数的求导公式计算 把二元函数的其中一个自变量看作常数求导.例如，求函数的偏导数.，. ②用链式法则求导（求复合函数的偏导数）（重点和难点） 如果已知,则 ，. . 说明： 和都是关于的二元函数. (2)隐函数求偏导数（重点和难点） ①对方程所确定函数 因为()， (), 所以()，(). ②对方程组确定函数 因为 (), (), 所以解方程组得： ，，， ,其中行列式. 三、导数的应用 (一) 求平面曲线的切线与法线方程 1、平面曲线 如果函数在点处可导，则函数在点处的切线方程为，法线方程为. 2、平面曲线 方程确定函数，则曲线在点处的法向量为，切向量，切线方程为（因为，所以）或. 法线方程. 求空间曲线的切线与法平面方程 1、对空间曲线 切线方程：. 法平面方程：. 算法：因为空间曲线在处的切向量为，切向量的方向数为，所以向量与切线上的向量平行，向量与法平面上的向量垂直. 2、对空间曲线 (1) 空间曲线确定参数方程 切线方程：. 法平面方程：. (2) 空间曲线确定参数方程 切线方程：. 法平面方程：. (3) 空间曲线确定参数方程 切线方程：. 法平面方