高中数学新体系难点02__充要条件.docVIP

难点2：充要条件的判定 充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系. 难点磁场 已知关于的实系数二次方程有两个实数根，证明： 且是且的充要条件. 案例探究 ［例1］已知,,若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围. 命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性. 知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了. 错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难. 技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决. 解：由题意知： 命题：若是的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：是的充分不必要条件. ∵是的充分不必要条件， ∴不等式的解集是解集的子集. 又∵ ∴不等式的解集为 ∴，∴， ∴实数的取值范围是. ［例2］已知数列的前项,求数列是等比数列的充要条件. 命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性. 知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定. 错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明. 技巧与方法：由关系式去寻找的比值，但同时要注意充分性的证明. 解：. 当时， , 若为等比数列，则 ， 这是为等比数列的必要条件. 下面证明是为等比数列的充分条件. 当时，， 当时， 为常数 时，数列为等比数列.即数列是等比数列的充要条件为 . ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若则”形式的命题为真时，就记作，称是的充分条件，同时称是的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假. (2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等. (3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质. (4)从集合观点看，若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则、互为充要条件. (5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性). ●歼灭难点训练 一、选择题 1.函数是奇函数的充要条件是 2. “是函数的最小正周期为“”的 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既非充分条件也不是必要条件 二、填空题 3. 是直线和直线平行且不重合的_____. 4.命题：两曲线和相交于点,命题：曲线 (为常数)过点,则是的_______条件. 三、解答题 5.设是方程的两个实根，试分析且是两根均大于1的什么条件？ 6.已知数列满足：,求证：数列成等差数列的充要条件是数列也是等差数列. 7.已知抛物线和点，求抛物线与线段有两个不同交点的充要条件. 8. ;关于的方程有2个小于1的正根，试分析是的什么条件.(充要条件) 参考答案 难点磁场 证明：(1）充分性：由韦达定理，得. 设,则的图象是开口向上的抛物线. 又. 即有 又 (2)必要性： 由且的图象是开口向上的抛物线. ∴方程的两根同在内或无实根. ∵是方程的实根， ∴同在内，即且. 歼灭难点训练 一、1.解析：若,即,此时 . 是为奇函数的充分条件，又若是奇函数，即,则必有,即. ∴是为奇函数的必要条件. 答案： 2.解析：若,则,此时的最小正周期为π.故是充分条件，反过来，由.故函数的最小正周期为,则,故不是必要条件. 答案： 二、3.解析：当时，直线;直线.∵与的，而,即, ∴. 答案：充要条件 4.解析：若是和的交点，则 ，即，过;反之不成立. 答案：充分不必要 三、5.解：根据韦达定理得,.判定的条件是结论是 (注意中满足的前提是) (1)由，得 (2)为证明,可以举出反例：取,它满足 ,但不成立. 综上讨论可知是的必要但不充分条件. 6.证明：①必要性： 设成等差数列，公差为,∵成等差数列. 从而为常数. 故是等差数列，公差为. ②充分性: 设是等差数列，公差为,则 ① ② ①－②得： ,从而得为常数，故是等差数