《聊斋俚曲集》序数范畴探究.doc

《聊斋俚曲集》序数范畴研究 1、相关定义 1.1、范畴论的基础概念 现代数学许多领域的研究都可以概括为对特定的数学对象及这些对象之间的映 射的研究。例如,集合和集合之间的映射是集合论研究的主要对象,群(或环)和群 同态(或环同态)构成了群论(或环论)的主要研究对象,拓扑空间及拓扑空间之间 的连续映射构成了拓扑学的主要研究对象等等。范畴的概念正是这些特定的数学对象 和映射的概括和抽象。 定义 1.1 一个范畴(Category)C 是由: (1) 一族对象(object)obC ; (2) 任意一对对象 A, B ,对应一个集合C ( A, B ) ,其元素称为态射(morphism),使 得当A≠ A’ 或者B ≠B ‘ 时,C ( A, B) 与C(A ‘ , B ‘ ) 不交。 组成,满足下面条件: (a) 复合运算律(composition law):若A , B , C ob C ,f∈C ( A, B) ,g∈C ( B, C ) , 则存在唯一的gfC ( A, C ) ,称为 f 与g 的复合; (b) 结合律 (associativity) :若 A, B, C , D ob C ,f∈C ( A, B ) ,g∈C ( B , C) , h∈C (C , D ) ,则有h ( gf )= ( hg ) f ; (c) 单位态射(identity morphism):每一个对象 A ,存在一个态射1AC ( A, A) 使得 对任意的fC ( A, B ) 及gC ( C , A) 有f 1A= f 和1Ag= g 。 6 下面通过详细罗列对象和态射给出一些普遍的范畴,如表 1-1。 表 1-1 范畴实例 范畴 对象 态射 Set 集合 函数 Top 拓扑空间 连续的函数 Vect 向量空间 线性转换 Grp 群 群同态 PO 偏续集 单调函数 单态射:设C 是一个范畴,f : A→ B 是C 中的一个态射。如果对C 中的任意一 对平行态射g , h : C→ A 使得 fg= fh ,则有 g= h ,称 f 是一个单态射(monomorphism) 。 满态射:设C 是一个范畴,f : A→ B 是C 中的一个态射。当且仅当C 中的任意 一对平行态射g , h : B→ C 使得 gf= hf ,则有 g= h ,称 f 是一个满态射(epimorphism) 。 定义 1.2 设C 和D 是范畴,一个函子(functor)F :C → D 由两个映射组成: obC→ ob D :A a F ( A) , MorC→ Mor D :f → F ( f ) 。 满 足 dom(F ( f ))= F (dom( f )) , cod(F ( f ))= F (cod( f )) ,F(1A ) = 1 F ( A) , 并 且 若 dom( g )= cod( f ) 则F ( gf )= F ( g ) F ( f ) 。 任意范畴C 都存在一个到自身的单位函子1C : C → C 使得在对象和态射上的对 应都是恒同的。 群范畴Gp(拓扑空间范畴Top,环范畴Rng,R 模范畴Mod R 等)存在一个到 集合范畴Set 的遗忘函子G ,使得G 把每个群(拓扑空间,环,R 模等)对应为所在 的集合,而把每个群同态(连续映射,环同态,R 模同态)对应为自己。 一般地,我们称一个函子C op → D 为C 到D 的反变函子(contravariant functor)。 定义 1.3 设C 与D 是范畴,F :C → D 与G :C → D 是两个函子。一个自然变换 (natural transformation)α : F → G 是一个映射obC→ Mor D : Aa(αA : F ( A) → G( A)) , A ob C 使得对C 中的任意态射f : A→ B ,G ( f )αA= α B F ( f ) 成立,即下面的图标交换: 7 F( A )αAG ( A ) F( B )G ( B ) F( f )G ( f ) αB 如果自然变换α :F → G 满足对任意的A ob C ,αA : F ( A) → G ( A) 是一个同构, 则称α 是一个自然同构(natural isomorphism)。 在一些研究中,我们经常会遇到这样的构造:给定某个具体范畴的一个小的子范 畴(也可以看作一个小范畴到该范畴的一个函子的像),存在一个对象以及该对象到 子范畴中的每个对象的一个态射构成的可交换态射族具有”万有性质”,或者存在一 个对象以及子范畴中的每个对象到该对象的一个态射构成的可交换态射族具有”万有 性质”。例如,给定一族拓扑空间{Xi i I } ,则积空间 i ∏X 到每个因子空间的射影族