极限概念的表征及教学策略.pdfVIP

垩墨：! oU 。F 霉 蕊掣 AL ，Ⅷ- 极限概念的表征及教学策略 罗万春 宋乃庆 (西南师范大学 数学系，重庆400715) 摘 要；从学生学习极限概念过程中的心理表征出发，根据数列极限、函数辊限和单佣极限等 三种扭限概念之间的关皋以厦学生对极限概念表征的认知过程。皓出扭『耳概念教学的策略。 关键词j辊限概念；表征；教学策略 中圈分类号j0171 文献标识码：A 从有限数学到无限数学，是人类对数学认识的一大发展，数学领域由此跨入现代的数学。 极限知识是无限数学的基础和重要内容，但是学生在学习极限的过程中．对极限概念的认识往 往是极其困难的。我们知道，数列极限的￡一N定义和函数极限的￡一 定义极尽形式化，这 对于数学系的学生来说，由于学习极限概念之前有确界原理等知识作铺垫，理解起来还比较要 容易些；而对于其他科系．尤其是对于文科学生．学习极限概念就显得非常吃力。本文试图通 过探究学生学习极限概念过程中的心理表征，来创设有效的极限概念的教学策略。 1 极限概念的内容 极限概念是微积分学中的第一个教学难点，也是微积分学的教学重点，可以说．微积分学 是建立在极限这一基本概念的基础之上的。因此，对极限的理解直接关系着微积分中其他知 识的学习。 一 般地，在极限概念教学中需讲授数列极限、当 一 时的函数极限、单侧极限以及当 —co时的函数极限。其中，数列极限是基础，当 — 时的函数极限是难点，单侧极限可在函 数极限的基础上延伸， —co时的函数极限可用数列极限来迁移、拓展。因此，我们仅讨论数 列极限以及如何实现由数列极限向 一 时的函数极限的过渡。 2 极限概念的表征 2 l 知识的表征 所谓表征(presentation)是指表示事物的一种模型，知识表征是指信息以一定的代码在人 脑中呈现和记载的方式。知识表征具有系统结构性和加工过程性两个基本特性，因而知识表 征应该是一种动态的机制，一旦有与之相关的模式出现，它便被激活，并完成相应的表征活 动…1。新知识的表征是建立在一定的已有知识系统基础之上的。认知心理学观点认为，影响 学习效率的直接因素是学生头脑中的已有知识与学习时的认知加工过程_2 J。因此，只有充分 收稿日期：2o0l一01—08 作者简介：罗万春{197l一)，男，数学教育专业啊士研究生；宋乃庆(1948一)，男．教授，博士生导师。 102 海 南 师 范学 院 学 报 了解学习者已有知识的水平，找到最恰当的切入点，学习者的学习才能事半功倍，较好地完成 知识表征活动。 2．2极限概念的表征 按照现代对知识的分类，极限概念隶属陈述性知识(semantic knowledge)，这种知识具有 静态的性质。但是，就形式而言，极限概念却是非描述性的，我们固然可以以描述性来增强学 习者对极限概念的理解，然而学生头脑中极限的形式化概念的形成才是我们的教学目的。 刚涉及微积分的学习者的原有知识系统中已有数列、无限等知识，但是，要理解当某一个 变量趋于无穷大而另一变量趋于某一个定值却是相当困难的。比如从小学到高中毕业，学生 仍然不能理解0．9=l。 事实上，学习者常把数列极限错误地表征为当 变大时数列最终达到某一个值。如果能 从数列各项在数轴上的点与极限值所代表的点之间的距离的角度来认识数列极限，学习者便 能更正确地表征数列极限。一般教材上所谓的几何意义往往让学习者难以捉摸，至于对于当 — 时的函数极限，学习者的表征大多是含混不清。 为了解决学生在极限表征上的困难，我们用下图来说明学生的认知过程： 厦委 圜 1 匿 圈 j船 厘宣 鱼塑 堑塑 鲤塑金l— l堑 墼堂 塑壁煎 由上图我们可以看到，数学材料的质量及教学方式直接影响着学习者新的数学认知结构 的形成。教师教学时应根据学习者原有的认知结构，分割、重组数学材料，找到最佳切入点，帮 助学习者完成对知识的正确表征。 3 极限概念的教学策略 教学策略(i~trucfional strategy)既包括教的策略(t~ing strategy)，又包括学的策略 (1earning strateg