2017-2018学年度高中数学 第一章 推理与证明 1.2 综合法与分析法课件 北师大版选修2-2.pptVIP

-*- §1.2　综合法与分析法 1.综合法 从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法. 名师点拨综合法的特点 (1)综合法的特点是从“已知”看“未知”. (2)用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,用Q表示所要证的结论,则综合法的思维过程可表示如下: (3)用综合法证明题目,具有步骤严谨、逐层递进、条理清晰、易于表达的特点. 【做一做1】 已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥ . 证明:∵x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2xz, ∴(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2) ≥2xy+2yz+2xz. ∴3(x2+y2+z2) ≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz, 即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=1. 2.分析法 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这种思维方法称为分析法. 名师点拨分析法的特点 (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”. (2)用分析法书写证明过程的格式为“要证……,只需证……,只需证……,…由于……显然成立(已知,已证等),所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略. 【做一做2】 将下面用分析法证明 ≥ab的步骤,补充完整: 要证 ≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证　　　　　　　,即证　　　　　　　,由于　　　　　　　显然成立,因此原不等式成立.? 答案:a2+b2-2ab≥0　(a-b)2≥0　(a-b)2≥0 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)综合法是由因导果的顺推证法. (　　) (2)分析法是执果索因的逆推证法. (　　) (3) 分析法的推理过程要比综合法优越. (　　) (4)所有证明的题目均可使用分析法证明. (　　) √ √ × × × 探究一 探究二 探究三 规范解答 综合法的应用 【例1】 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求证:A的大小为60°. (2)若sin B+sin C= ,证明△ABC为等边三角形. 分析:(1)要证A的大小为60°,可先从已知条件出发,利用正弦定理,将角化为边,再利用余弦定理得出角A的大小. (2)要证△ABC为等边三角形,可从(1)的证明出发,将sin B+sin C= 转化为只含一个角的三角函数值的等式,进而求出角B或角C的大小也为60°,命题得证. 探究一 探究二 探究三 规范解答 证明:(1)∵2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, ∴2a2=(2b-c)b+(2c-b)c, 即bc=b2+c2-a2. 探究一 探究二 探究三 规范解答 (2)∵由(1)知A=60°,且A+B+C=180°, ∴B+C=120°. ∵0°B120°,∴30°B+30°150°. ∴B+30°=90°,即B=60°. ∴A=B=C=60°.因此△ABC为等边三角形. 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟综合法证明问题的思路 (1)分析条件,选择方向.即分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法. (2)转化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化. (3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 分析法的应用 分析:本题从正面入手很难找到思路与方法,可从结论入手,利用分析法,寻找结论成立的充分条件. 探究一 探究二 探究三 规范解答 而上述不等式显然成立,故原不等式成立. 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟利用分析法证明不等式 (1)适用范围:常用于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明. (2)证明思路:从要证明的不等式出发,逐步寻求它成立的充分条件,最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式. (3)格式要求:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语. 探究一 探究二 探究三 规范解答 只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2, 只需证(xy)2-1+(x+y)-xy(x+y)≥0, 只需证(xy-1)(xy+1-x-y)≥0, 只需证(xy-1)(x-1)(y-1)≥0. 因为x≥