2017-2018学年度高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法课件 北师大版选修2-2.pptVIP

-*- §1.4　数学归纳法 数学归纳法 (1)定义:数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法. (2)证明步骤 ①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时,命题成立; ②在假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立. 根据①②可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. (3)证明依据:数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立,因为根据①,验证了当n=1时命题成立;根据②可知,当n=1+1=2时命题成立,由于n=2时命题成立,再根据②可知,当n=2+1=3时命题也成立,这样递推下去,就可以知道当n=4,5,…时命题成立,即命题对任意正整数n都成立. 名师点拨应用数学归纳法的注意事项 (1)数学归纳法的两个步骤缺一不可. 步骤①是命题论证的基础,步骤②是判断命题的正确性能否递推下去的保证.这两个步骤缺一不可,若只有步骤①缺少步骤②,则无法判断n=k(kn0)时命题是否成立;若只有步骤②缺少步骤①,则假设就失去了成立的前提,步骤②就没有意义了. (2)用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明. 【做一做1】 用数学归纳法证明3nn3(n≥4,n∈N+),第一步应验证(　　) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 解析:由题意知n≥4,n∈N+,所以第一步应验证n=4,故选D. 答案:D 【做一做2】 用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2,当n=1时,左边式子为　　　　.从k到k+1左端需增加的式子是　　　　.? 解析:当n=1时,左边=1+3=4,右边=(1+1)2=4. 左边式子是连续(n+1)个奇数相加,因此当n=k时,左边式子为1+3+5+…+(2k+1). 当n=k+1时,左边式子为1+3+5+…+[2(k+1)+1]=1+3+5…+(2k+1)+(2k+3). 故增加的式子是2k+3. 答案:1+3　2k+3 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. (　　) (2)数学归纳法的两个步骤缺一不可. (　　) (3)凸(n+1)边形的对角线比凸n边形的对角线多(n-1)条. (　　) (4)用数学归纳法证明“2nn2+1对n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明的初始值n0应取2. (　　) (5)所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决. (　　) × √ √ × × 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用数学归纳法证明恒等式 等式左边=等式右边,所以等式成立. (2)假设n=k(k∈N+,k≥1)时等式成立,即有 探究一 探究二 探究三 思维辨析 所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2),可知对一切n∈N+,等式都成立. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟用数学归纳法证明问题的三个关键点 (1)验证是基础.数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0(n0≥1,n∈N+).这个n0就是要证明的命题对象对应的最小正整数,这个正整数并不一定是“1”. (2)递推是关键.数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化,关键是弄清等式两边的构成规律.弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项. (3)利用假设是核心.在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1时命题成立”.在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明不是数学归纳法. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+). 证明:(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边=21×1=2,等式成立. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1). 则当n=k+1时,(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2) =2(k+1)(k+2)·(k+3)·…·(k+k)(2k+1) =2×2k×1×3×…×(2k-1)(2k+1) =2k+1×1×3×…×(2k-1)[2(k+1)-1], 所以当n=k+1时等式也成立.