2015模糊集合清晰化.ppt

这里 w 0。 可以验证：Tdop 是三角模，Sdos 是反三角模。通常我们称 Tdop 为 Dombi T 模，称 Sdos 为 Dombi S 模，或将它们统称为 Dombi 算子。 还可以证明：当 w?? 时 Dombi 算子退化为 Zadeh 算子，当 w?0 时 Dombi 算子退化为 Drastic 算子(直积与直和)： 证明参见教案。 根据三角模算子的定义和基本性质，对于论域 U 上的经典集合 A, B?P (U)，其交集 A?B 的特征函数可以用三角模表示为 ?A?B(x) = T(?A(x), ?B(x))，而并集 A?B 的特征函数可以用反三角模表示为 ?A?B(x) = S(?A(x), ?B(x))。将其推广到模糊集合的情形，则对于论域 U 上的模糊集 A, B?F (U)，其交集 A?B 和并集 A?B 的隶属函数可以用 [0, 1] 上的三角模算子表示为 (A?B)(x) = T(A(x), B(x))，?x?U (A?B)(x) = S(A(x), B(x))，?x?U (2.39) 其中 T 和 S 可以选择不同的具体表达形式。因此，通常称(2.39)式定义的交、并运算为模糊集合的模运算或模糊集合的广义交、并运算。 显然，用 Zadeh 算子定义的模糊集合的交、并运算只是(2.39)式的一个特例。在实际应用中，例 23~30 给出的三角模算子也经常在不同的场合被用于模糊集合的交、并运算或者表达对模糊模糊命题的合取或析取，而且由于 Hamacher 算子、Dubois?Prade 算子、Yager 算子及 Dombi 算子都含有参变量 w，因此适用范围就更广泛一些。 例 31 考虑例 21 中的两个模糊集“较安全(A2)”和“一般(A3)”。图 53 是分别采用 Zadeh 算子和 Drastic 算子计算的 A2?A3 和 A2?A3 示意图；图 54 是分别采用 Zadeh 算子和 Einstein 算子计算的 A2?A3 和 A2?A3 示意图；图 55 是采用 Yager 算子(w = 1.5, 3, 10)计算的 A2?A3 和 A2?A3 示意图；图 56 是采用 Dombi 算子(w = 0.4, 0.7, 10)计算的 A2?A3 和 A2?A3 示意图。 图 53 分别用 Zadeh 算子和 Drastic 算子计算模糊集的交、并 图 54 分别用 Zadeh 算子和 Einstein 算子计算模糊集的交、并 图 55 采用 Yager 算子(w = 1.5, 3, 10)计算模糊集的交、并 图 56 采用 Dombi 算子(w = 0.4, 0.7, 10)计算模糊集的交、并 从例 31 的图 55 可以看出，采用 Yager 算子或 Dombi 算子来计算模糊集的交和并，随着 w 的取值从 0 到 +?，其隶属函数值总是在 Drastic算子和 Zadeh 算子的值之间。 定理 20 设 ? 是 [0, 1] 上的三角模算子，即 ? = T 或 ? = S。 (1) 对 ak, b?[0, 1]，k = 1, 2, …, n，有 (2) 若二元函数 ?(x, y) 关于每个变元皆连续，则对 a?, b?[0, 1]，???(? 为指标集)有 证明 (1) 设 ，则 ， 从而 由于 ，根据三角模算子的单调性，又有 即 于是 。 定理 20 说明：三角模算子与“min”(或“?”)或“max”(或“?”)满足有限和无限分配律。 定理 21 设 T 与 S 分别为 [0, 1] 上的三角模和反三角模。若 T 满足幂等律，即 T(a, a) = a，?a?[0, 1] 则必有 T = min；若 S 满足幂等律，即 S(a, a) = a，?a?[0, 1] 则必有 S = max。 证明 对 ?a, b?[0, 1]，由幂等律、单调性及定理 19 有： min{a, b} = T(min{a, b}, min{a, b}) ? T(a, b) ? min{a, b} 即 T(a, b) = min{a, b}；对?a, b