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两分子间相互作用力变化规律探析普通高中课程标准实验教科书选修3-3（2010年4月第3版，2011年11月第4次印刷）第7章第3节《分子间的作用力》中的“问题与练习”第1题. 题目 请描述：当两个分子间的距离由小于r0逐渐增大，直至远大于r0时，分子间的引力如何变化？分子间的斥力如何变化？分子间引力与斥力的合力又如何变化？ 教师教学用书（2010年5月第4版，2011年5月第12次印刷）第13页给出的“解答与说明”如下： 本题可借助于分子力随分子间距离的变化图线来描述. 由如图1中的曲线（本图复制于人民教育出版社的电子课本）可以看出，当两个分子间的距离由小于r0逐渐增大，直至远大于r0，这个过程可分为三个阶段. 第一阶段，由小于r0逐渐增大到等于r0的过程，引力和斥力均减小，斥力比引力减小得快.由于斥力大于引力，斥力和引力的合力表现为斥力. 第二阶段，由r0逐渐增大到合力中引力最大所对应的分子间距离的过程，引力和斥力均减小，斥力小于引力，斥力和引力的合力表现为引力而且合力值逐渐增大. 第三阶段，由合力为引力最大值时两分子间的距离到10r0的过程，斥力和引力均减小，斥力仍比引力减小得快，斥力小于引力，斥力和引力的合力为引力但合力值逐渐减小. 分析 教师教学用书的“解答与说明”分三个阶段进行讨论，分别给出了斥力和引力的大小比较、斥力、引力各自的大小随两分子间距离r变化的关系、斥力和引力的大小随距离r变化的快慢比较、斥力和引力的合力值随距离r变化的关系.当然，对其中的第一阶段，“解答与说明”并没有给出合力值随距离r变化的关系，对其中的第二阶段，“解答与说明”也没有给出斥力和引力的大小随距离r变化的快慢比较. 对于第一阶段，合力值随距离r的增加而逐渐减小的关系，是很容易从图1中直接看出来的，“解答与说明”即使没有交代也没有多大的影响，但是第二阶段，斥力和引力的大小随距离r变化的快慢关系究竟如何？还有第三阶段，斥力和引力的大小随距离r变化的快慢关系——“斥力仍比引力减小得快”又是否正确呢？ 要比较斥力、引力大小随距离r变化的快慢，最容易想到的就是比较它们图象的斜率（即图线的陡缓程度），观察图1，当rr0时，比较两个曲线的陡缓程度就有一定的困难了. 笔者试验过，让全班学生用肉眼直接观察图1中第二阶段斥力和引力曲线的倾斜程度，有近1/3的学生认为斥力变化快，有近1/3的学生认为引力变化快，还有的则难以决定. 出人意料的是在第三阶段，有近80%的同学都发现：图1中的斥力曲线已经相当平缓，而引力曲线仍然有一定的倾斜，似乎是引力比斥力减小得快，这与教师教学用书“解答与说明”的结论完全相反.究竟孰是孰非呢？笔者和学生对这一问题进行了很有意义的探讨，以下是学生们给出的另外两种方法： 方法一 第一阶段. 由于合力值F合为斥力，所以计算合力值F合大小的表达式应为F合=F斥-F引. 并且由图1中的合力曲线（图1中中间的实线）可以看出，随着r的减小，合力值F合增大，而F斥、F引也在增大.要保证合力值F合随r的减小而增大，F斥增大的幅度必须要比F引增大的幅度大一些，即斥力比引力变化快. 第二阶段. 由于合力值F合为引力，这时计算合力值F合大小的表达式应为F合=F引-F斥，又因随着r的增大，合力值F合增大，而F斥、F引在减小. 所以要保证合力值F合随r的增大而增大，F斥减小的幅度必须要比F引减小的幅度大些，即此时仍然是斥力比引力变化快. 第三阶段. 由于合力值F合仍为引力，计算合力值F合大小的表达式仍应为F合=F引-F斥，并且随着r的增大，合力值F合减小，F斥、F引也在减小. 如果F斥、F引减小的幅度相同，则由F合=F引-F斥可以推断，合力值F合将保持不变；如果F斥减小的幅度较大，则由F合=F引-F斥可以推断，合力值F合将增加. 所以要保证合力值F合随r的增大而减小，必定是F斥减小的幅度要比F引减小的幅度小一些，即此时斥力将比引力变化慢. 这时“解答与说明”给出的结论是错误的. 方法二 设斥力曲线、引力曲线随分子间距离r的函数分别为F斥（r）、F引（r），则合力曲线随分子间距离r的函数则为F合（r）=F斥（r）+F引（r）. 观察合力曲线可知，在区间（r0，+∞）之间存在一个负的极值点，此即“解答与说明”中所提到的“合力中引力最大”所对应的点，设其横坐标为r1. 由于该点是极值点，所以合力函数F合（r）在此处的一阶导数F合′（r）=0. 又因F合（r1）=F斥（r1）+F引（r1），所以F合′（r1）=F斥′（r1）+F引′（r1），有F斥′（r1）=-F引′（r1），即F斥′（r1）=F引′（r1）. 从导数的几何意义可知，在r1处斥力曲线的倾斜程度与引力曲线的倾斜程度相同，即r1处斥力与引力的变化快慢相同. 当