具有参数的三阶收敛的修正牛顿迭代法.pdfVIP

第23 卷第4 期 湖北民族学院学报（自然科学版） VoI. 23 No. 4 2005 年12 月 JournaI of Hubei Institute for NationaIities（NaturaI Science Edition ） Dec. 2005 具有参数的三阶收敛的修正牛顿迭代法 陈以平 （湖北民族学院理学院，湖北 恩施445000 ） 摘要：以解非线性方程的常微分方程方法和传统牛顿法为基础，提出方程求根的一种具有参数的修正牛顿迭 代法，证明了这种迭代法至少具有三阶收敛速度，最后通过实际算例给出了相关迭代法相互比较的数值结果. 关键词：迭代法；收敛性；预估校正；非线性方程 中图分类号：024 1. 7 文献标识码：A 文章编号：1008 - 8423（2005 ）04 - 0320 - 03 牛顿法是数值求解非线性方程： f （x ）= 0 （1 ） 的最常用的方法之一. 一般情况下，当初始点x0 取得接近于根x *时，牛顿法收敛速度快，是一种平方收敛的 单步法，但它需要调用导数值，这使其应用受到限制，而经修改得到的不带有导数项的单点割线法和双点割 线法又不再是2 阶收敛的，分别是线性收敛和超线性收敛. 为提高迭代序列的收敛阶，有许多文章对牛顿法 作了进一步的修改与推广，其中文献［1］讨论了弱条件下的一种高阶迭代法，其迭代格式为： yI = xI - f （xI ）/ f （x0 ） {x = y - f （y ）（y - x ）/ ［f （y ）- f （x ）］ （2 ） I + 1 I I I I I I 在一定条件下，迭代格式（2 ）至少是平方收敛的. 文献［2 ］先用牛顿法预估，再校正的思想，得到了如下 - t I + 1 = tI -f （tI ）/ f （tI ） 迭代格式： （3 ） { - tI + 1 = tI - 2f （tI ）/ ［f （tI ）+f （t I + 1 ）］ 在一定条件下，迭代格式（3 ）至少有三阶收敛速度. 文献［3 ~ 8 ］利用常微分方程的Liapunov 稳定性理论 和常微分方程的数值解法构造了若干解非线性方程的迭代公式，这些迭代格式一般具有线性、超线性或平方 收敛速度，从某种意义上讲，它们都是牛顿法的改进与推广形式. 本文拟讨论一种具有参数的不低于三阶收敛速度的修正牛顿迭代法，将上述有关文献构造迭代法的基 本思想及结果相结合来构造更高阶的牛顿类迭代法，并通过实际算例给出相关迭代法相互比较的数值结果. 1 一种具有参数的修正牛顿迭代公式 仿文献［3 ，7 ］，引入一个动力系统：