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第 18卷第 5期 工 科 数 学 Vo1．18，NO．5 2002年 10月 JOURNAIOFMATHEMATICSFOR TECHNOLOGY 0ct．2002 关于赋范线性空间中的三类泛函方程 姚云飞 (0-阳师范学院数学系，安徽 阜 阳 236032) [摘 要]在赋范线性空间中考察下列几类泛函方程 (I)厂()g()一^(+ )， (Ⅱ)厂(+ )一／()_厂()， 的性质与解 以及彼此之 间的关系， [关键词]泛函方程；赋范线性空间；凸泛函；共轭空间；连续泛函 [中图分类号]O177．91 [文献标识码]A [文章编号]1007—4120(2002)05—0049—05 18世纪初欧拉 (Euler)，拉格 朗Et(Lagrange)等著名数学大师就 已经利用 函数 (泛 函)方程解决 问 题．1773年法 国数学家蒙 日(Monge)应用函数方程研究 曲面理论时，给出了函数方程 的较一般的叙述． 从 1821年起 ，数学家柯西 (Cauchy)对一系列 的一维空间中函数方程作 了深入的研 究，并创造了一种求 解 函数方程的方法——柯西 (Cauchy)法． 阿贝尔 (Abe1)，维尔斯特拉斯 (Weierstrass)，罗巴切夫斯基 (Lobachevsky)，哈代 (Hardy)等数学家将 函数方程广泛应用于各种不同的领域 ，取得了惊人的结果．20世纪初期 ，波兰学派对函数方程进行了某 些开创性 的研究工作．20世纪 40年代后 ，前苏联数学家盖尔谢凡诺夫发展 了函数方程 的理论 ，并应用 函数方程理论成功地解决 了一系列有关力学、渗透理论、弹性理论和地层动力理论的问题． 在函数(泛函)方程 的研究领域 中，经过众多的数学家付出了艰辛的劳动，获得了大量的结果，其之 应用 日益广泛深远 ，但令人遗憾的是至今还没有建立起完整系统的函数 (泛函)方程 的理论 ，甚至较一般 的解法也知之甚少． 特别值得注意的是与函数方程密切相关 的函数迭代有着深刻的理论背景和实用价值 ，由于近年来 关于浑沌理论和微分动力系统的研究与发展十分迅速 ，引起 了数学界的高度重视． 众所周知 ，微分方程、积分方程 、泛 函微分方程 6【均属于函数方程之列．由此可见 ，对一般的函数 (泛 函)方程研究其意义深远．然近年来 ，关于一般赋范线性空间中泛函方程的研究工作却不多见．本文将把 在概率论 中反复应用的(例如在普阿松过程、指数分布、射击弹落点分布等)I8]一维空间中的函数方程推 广到赋范线性空间中的泛 函方程 (I)与(Ⅱ)，同时把 鼹 中可用来描述欧几里得平面中的仿射变换 的单 参数解 函数方程-l7。，提炼抽象，推广到了本文方程 (Ⅲ)．研究其三者性质及其关系 ，并给出其应用． 1 方程 (I)与 (Ⅱ)的关系 定理 1 若 (i)X为 上的线性空间(本文中 均表示实数域 、0为 X 中零元素)， (ii)h：X一 是实值泛函， (iii)f：X一 ，g：X一 是不恒为零 的实值泛 函， 则泛 函方程 (I)总可 以化为 (Ⅱ)的形式． [收稿 日期]2001—12—10 5O 工 科 数 学 第 18卷 X fi_ 用 及 让法 让 明 g()≠0．1炭设 g()一0，则 h()一h(+61)一．，(x)g()三 0．由于 ／()不恒 为 V o，知至少有一个 。使 f(xo)≠o，从而 g()一 三o