具有二阶逼近效应场多维Landau—Lifshitz方程解的极限行为.pdfVIP

杨干山等：有二阶逼近效应场多维 Landau—Lifshitz方程解的极限行为 其中E ()是各向异性能，Eex()是交换能，E 是由外部磁场 H 带来的外来能．他们通过确定能 量泛函E获得了描述磁化运动的方程组．Landau和 Lifshitz[]提出的方程可以写成下面形式： JrO瓦u f1．C) +H，Q×(0，)， 其中 l和 入2是两个常数， 0． 1985年，Visintin[0】研究了导出 (1．c)的能量泛函E，证明了此泛函的极小值 问题在下面条件下至 少有一个解： ， h 一 IH(u)是一个 3_÷+的凸函数的梯度， ≮ If0f是一个3X3正定矩阵． 、 ’ 前面提到的能量泛函极小值 问题是否存在光滑解?一维情形有一些结果 (参见文献 f31)．关于多维 。 Landau—Lifshitz方程，弱解 的存在性首先被 Sulem 等人 []与周毓麟和郭柏灵 [5]于 1986年分别解决． ∑ Sulem等人证明了对于任意给定 (1 ()l=1几乎处处成立)和OS／Oxt∈L。( )，s／ =SXAS， ％ S(x，0)=Sox)存在整体弱解．周毓麟和郭柏灵证明了不带Gilbert项情形整体弱解的存在性．2000 年，Chang等人I6]考虑了柱对称初值问题．文献 7【-10】考虑了弱解的部分正则性，文献 [11—13】分析了 ， 、 ● ， 丝眠 解的集中性，文献 1【4，15】研究了弱解和调和映射之间的关系，文献 [16—19】讨论了解的稳定性．近几 年，出现了把不带外磁场和各 向异性场的Landau—Lifshitz方程转化为 SchrSdinger映射方程，再转化 为类似于 SchrSdinger方程的方程处理的思想，例如文献 [20，21】．倍受关注的是引入Hasimoto变换来 研究整体解 2【2]、等变解 和 blow—up解 [24】． 具有外磁场和各 向异性场多维 Landau．Lifshitz方程 (1．c)的整体光滑解的存在性仍是重大的公 开 问题．目前只能就一些特殊情形 (也是重要情形)加以研究．由于具有外磁场和各 向异性场情形很难 精确求其解，仅当外加磁场或各向异性场之一缺少时，许多作者尝试著名 Hirota方法、Lie代数结构 和 B~cklund变换、双线性变换等．但是就我们所知，显式精确解除近年我们构造的几个解 (参见文 献 f25])以外没见其他解 2000—2001年，Guo等人 2【6107]就 n维 Landau—Lifshitz方程构造 了一些柱对称解．2001年，Guo 和 Yang[28】就二维Landau，Lifshitz方程构造 了一族 圆盘解．2003年，Yang和 Chang[29】就具有和不 具有外加磁场之间获得了一个精确显式变换．利用这个变换，文献 [29，30】给出了当外加磁场趋于0时 具有外加磁场 Landau—Lifshitz方程 的解趋于不具有外加磁场 Landau-Lifshitz方程解的充分必要条件． 当外加磁场和各向异性场 同时出现时，即使是二维情形，直至 2008年没见到任何文献讨论显式解． 2009年，杨干 山和郭柏灵[31l研究了具有脉冲型外加磁场和各向异性场的多维Landau-Lifshitz方程并 就二维情形得到了一些显式解．注意到那里考虑的外加磁场 (t)日是不连续的且无界的．Mu等人 3【2] 考虑了在保持与文献 [28】解相同情况下如何反求出外加磁场和各向异性场问题．利用文献 [31]提供的 显式变换和文献 2『8]提供的例子，我们可以得到二维的更多例子．2011年，杨干山和刘宪高给出了一 种求解具有外磁场和各向异性场的Landau—Lifshitz方程的一种方法，并得到了Landau—Lifshitz方程的 一 族新型对称的