关于近世代数中一道习题的注记.pdfVIP

2010年第2期 商丘职业技术学院学报 VoI．9，No．2 0F VocATloNALANDTEcHNIcALc0LLEGE 第9卷(总第47期)J0uRNALsHANGQIu Apr．，20lo 文章编号：167l一8127(2010)02、o007—03 关于近世代数中一道习题的注记 李 娟，张 涛 (河南师范大学数学与信息科学学院，河南新乡45300r7) 摘 要：给出了四元数除环的5种形式，证明了它们之间的同构关系．作为应用，证明了一个代数恒等式． 关键词：近世代数；四元数；除环；同构 中图分类号：189 文献标识码：A O 引言 在近世代数中，四元数除环是除环的一个最重要的例子．文献‘11习题中给出了四元数的两种形式：复数 文给出了四元数的另外几种形式，特别是复矩阵形式(2)和实矩阵形式(5)，证明了所有这些形式之间的同 构关系，从而将四元数的运算转化为矩阵运算，这样不仅简化了计算，而且更容易理解和记忆．作为应用，我 们给出了一个代数恒等式的证明． 1 四元数除环的5种形式及它们之间的同构关系 定理1以下5种形式的四元数同构． EC}； (1)日={(a，卢)Ia=o+i6，卢=c+id ㈤K={(昂售)卜川邶…跳c)． (3)L={o+6i+巧+d七}I口，6，c，d∈尺}； (4)L’={(o，6，c，后}In，6，c，d∈R}； 口 6 C d 『 一 6 o 一 d C (5)膨={ I 一 C d ． 小，c，叫· ． 一 d C 口6 口 注：(1)中运算的定义见参考文献…，(2)和(3)中运算的定义如下： ㈤(告抄(毫譬)=(等专筹争 f aI卢l＼f nln2一卢lJB2 Ql卢2一卢l饯2＼ q2展1一f -…～-‘ l～一__～一I一 、一届lal，、一卢2n2／ 、一a1卢2一卢l0f2 Qla2一卢l届2／ (nlc2—6ld2+cl口2+d162)_，+(nId2+6lc2一c162+dl口2)后 (4)中运算类似于(3)，而(5)中的运算就是一般实矩阵的加法运算和乘法运算． 证明：容易验证，下面定义的5个映射都是一一映射．为证明同构关系，我们只需证明这些映射对于加法 和乘法运算都是同态．加法运算是简单的，我们把证明留给读者．下面将证明乘法运算之间的同态． 收稿日期：2009一12一lO 作者简介：李娟(1979～)女．河南开封人，河南师范大学助教．硕士，主要从事格上拓扑学研究。 ·7· 万方数据 2010年 商丘职业技术学院学报 、一J1“， 有班(口-，卢-)‘兰，皮)]=∥坚a隅一卢-酉一他动t)] 一 nla2一卢l芦2alJiB2一届l a21一f a21 一f口Ia2二JiBI|；B2仅I卢2+卢I 、一al卢2一卢la2 ala2一卢J岛，、一al卢2一卢Ia2aln2一卢I岛， =(告鲁)(去鲁)川啪湫％趴 ． 从而映射p保持日和K中的乘法运算，所以矽是从日到