具有公共小函数的代数体函数的唯一性.pdfVIP

数学物理学报 http：／／actams．wipm．ac．cn 具有公共小函数的代数体函数的唯一性 刘慧芳 。孙道椿 (江西师范大学数学与信息科学学院 南昌330022； 华南师范大学数学科学学院 f-~,l、I510631) 摘要：该文研究了两个 u值代数体函数具有 4口+1个公共小代数体函数的唯一性问题，将亚 纯函数关于小函数的几个唯一性定理推广到了代数体函数． 关键词：代数体函数；公共小函数；唯一性． MR(2010)主题分类：30D35 中图分类号：O174．5 文献标识码：A 文章编号：1003—3998(2015)02—274—08 1 引言 本文使用Nevanlinna值分布理论的标准记号和基本结果 [1-3]． 设 ()，… ，0(z)是复平面 c上一组没有公共零点的解析函数，则方程 (，W)=A () ”+A一1(z)W 一+ ···+A1(z)W +A0z)=0 确定了复平面上的一个 值代数体函数 ()．特别地，当 (z)，…，Ao(z)都为多项式时， W (z)为代数函数，当V=1时，W(z)为亚纯函数． 1929年，Nevanlinna证 明了下述著名的五值定理． 定理 A[]设 f(z)与g(z)为复平面上的两个非常数亚纯函数， ak(=1，… ，5)为五 个判别的复数 (其中可以有一个复数为 。。)．如果ak(=1，… ，5)为 f(z)与g(z)在复平面 上的IM公共值，则 f(z)三g(z)． 同时在文献 4『1中，Nevanlinna还提出如下问题：如果将定理 A 中的五个判别的复数 换为五个判别的小函数，定理 A是否成立? 围绕这一问题，许多作者进行了广泛研究，相关结果可查阅文献 f571等，最终该问题 被李玉华和乔建永 []彻底解决．2001年，仪洪勋在文献 f91中给出了一个推论，也说明了 五值定理对小函数的情况成立．事实上，他们得到了下述定理． 定理 B[9l设 f(z)与g(z)为复平面上的两个非常数亚纯函数， o~k(z)(=1，… ，5) 为 f(z)和 g(z)的小函数且互相判别 (其中可以有一个函数为 。。)．如果 (Z)(k=1，… ，5) 为f(z)与g(z)在复平面上的IM 公共函数，则 f(z)三g(z)． 收稿 日期：2014-01—09；修订 日期：2014—05—30 E—mail：liuhuifang73@sina．com 基金项目：国家自然科学基金 和江西省自然科学基金 (20122BAB201012，20132BAB201008)资助 No．2 刘慧芳等：具有公共小函数的代数体函数的唯一性 275 代数体函数的唯一性最先为Valiron所研究，在文献 [10]中他指出：如果两个 值代数 体函数 w(z)与M(z)具有公共的取 4v+1个值的点集，且重数相同，则 w(z)三M(z)．在 文献 l『1]中，何育赞改善了上述结果，得到定理 C，将定理A推广到了代数体函数． 定理c[11]设w(z)和M()分别为值与札值代数体函数，且 ，0 (=l，…，4v+ 1)为互异的复数 (其中可以有一个复数为 。。)．如果E(ak，W)=E(ak，M)(=1，… ，4+1)， 则w (z)三M (z)，其中 (n，W)表示 w(z)=n的值点集，每个值点仅计一次． 自然地，我们会考虑能否将定理 B也推广到代数体函数．于是，我们提出如下问题： 问题 1 如果将定理 C中的4u+1个判别的复数换为 4+1个判别的小函数，定理 C 是否成立 ? 我们知道定理 A—C的证明依赖于亚纯函数 (或代数体函数)的第二基本定理，近来文献 f121的作者定义了对四则运算封闭的代数体函数类，并得到关于小代数体函数的第二基本定 理，本文中我们将在此基础上研究上述 问题． 2 定义及引理 设 w(z)是由方程 (1