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卵一7 第 22卷 第 6期 昆 明 理 工 大 学 学 报 vo122No6 I997年 12月 JOURNALOFKUNMING UNIVERSITY OFSCIENCEAND TECHNOLOG~rDec1997 交换环强可分的环扩张的一个特性 塑 堡 (长沙221业高等专科学校，长沙41O0I21 0t3 摘要 证明j每个强可分的环扩张 ／R都可嵌入 R的一个弱 Galois扩张 关键词 坌垡塾 ± 旦鱼 !!芏韭 中图分类号O151 交接 ，『 1 符号和定义 本文中所有的环都为可换环，且是一个有单位元 1的环 R，R 的所有环扩张与R有 相同的单位元 ．0 S表示R上 S的 次拷贝的张量积 ．口 )是 由R 的所有幂等元组成 的布 尔环，且设 SpecB(R)是 R 的布 尔谱，即 SpecB(R)是 B(R)的所有 素理 想组成 的Stone空间，这里子集族 U = {yeSpecB(R)：e∈yl，e∈8(R)形成 8(R)的开子集的 一 组基 ．对任何 ∈SoecB(R)，用R 表示 的模理想∑PexR 的剩余类环，则R 是 一 个连通 环 ．并且，对任意 R一 模 ，用 表示张量 R 0 M ，对 任意元 素 a ∈ ，用a 表示a在典范同态 一 下的象 ． 一 个环扩张S／R称为强可分的，如果S是一个作为R一模是投射的可分R一代数． 一 个环 S称为连通的，如果 S没有真的幂等元 ．Ausland和 Goldman证明了：如 果 S／R 是一个强可分环扩张，且 S是连通 的，则 S／R嵌入的 R的一个 Galois扩 张 Jv，且 Jv是连通 的 一 个环扩张 N ／R称为弱 Galois扩张当且仅 当在 R 中存在有 限个正交幂等 元 e，…，e使得∑P，=1，且扩张N ／R 是Galois的．本文证明了下面的定理： J。 ， 定理 1 每个强可分的环扩张 S／R都可嵌入 R的一个弱 Galois扩张 ． 2 引理 为了证明定理方便，并引入两个引理： 引理 l 设 R是一个连通环，且 S／R是强可分环扩张，则 c(s／R)@ S是 的 一 个 Galois扩张 ． 证 明 由于 R是一个连通环，且 S／R是强可分环扩张，则有一个直分解成连通 环 ： S=S．0 … 0 S (I) 并且每个 S 是投射可分 R一代数，且存在 R的一个 Galois扩张： 收稿 日期：1997—06—07 · 58 · 昆 明 理 工 大 学 学 报 I997年 R[… ，… ，。 t． ，… … ] (2) 使得它是连通的，每个 是同构于S 的R一代数， ≤rank )．这个 Galois扩张 是同构于 R的可分闭包的唯一的R一子代数，因此用 C(S／R)来表示 ．显然有一个 R 一 代数同构 C(S ／ )@ 篮 C(S ／ )0 … 0 C(S／ ) 因此c ／ )@ 是 的一个Ga1ois扩张． 引理 2 设 R是～个连通环，S／R是强可分环扩张，且 S是 由n个元素生成的 R 一 模 ．则对任意整数 S≥n ，@ S包含一个幂等元 使得 (@ S)f与 C(S／ )是 一 代数同构的 ． 证明：考虑 S的如前 (I)的分解：S=S 0 …0 S 设 ，是数对 “，，)的集合， = 1，…，m；若 im则 = 1，…，n，且若 i= 则