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二 元 一 次 不 定 方 程 的 求 解 有这么一道数论题：一个数的20倍减去1能被153整除，这样的自然数最小的是_______. [分析]解答数论题的关键是把文字表达式转化为数字表达式， 我们可以设这样的数字为,根据题意则有，又假设（a为整数），即，显然在这个方程中，未知数的个数多于方程的个数，这样的方程我们成为二元一次不定方程，那这个题具体我们应该怎么去解答呢？通过观察，不难发现，的末尾数字一定是0，所以最小为3，此时，从而符合条件的最小的自然数为23. 在这个题目讲解完后，我们可以拓展一道训练题： 一个数的20倍加7能被59整除，这样的自然数最小的是多少？ 【归纳并拓展】同学们，大家可以看到，上面题目中涉及到的知识点一是数论中整除的知识，另一个更重要的知识点是二元一次不定方程的求解。下面我们一起来学习二元一次方程的求解方法。 一般说来，二元一次不定方程有如下几种分析方法： ①倍数分析法； ②尾数分析法； ③奇偶分析法； ④从大数入手； 首先我们看第①种分析方法：倍数分析法 Eg1： 求二元一次不定方程的正整数解。 【分析】我们先观察下，在所给的方程中3a和15都是3的倍数，所以2b必是3的倍数，故b最小为3. 当b=3时，a=3; 当 符合条件的解就只有： 接着我们再来学习第②种分析方法：尾数分析法 还是以一道例题来说明： Eg2:求二元一次不定方程的正整数解。 【分析】我们先来审题，5b的尾数只有两种情况：0和5. I.)当5b的尾数为0时，3a的尾数一定得为3，所以a可以为1，11….. 但是又要满足b是正整数的条件，所以a=1,此时b=4; II) 当5b的尾数为5时，3a的尾数一定得为8，所以a可以为6,16…. 要满足整数解的条件，a只能为6，此时b=1. 尾数分析法关键是从方程的各项的尾数入手。 下面是第③种分析方法：奇偶分析法 我们还是一道例题为例： Eg3:求二元一次不定方程的正整数解。 【分析】通过观察方程，不难发现：方程的左边是，右边是11（奇数），根据奇偶性分析（偶数+奇数=奇数），我们就能确定为奇数，于是可以为1，3，5，7……. 当只有这两组才是符合原方程的解。 奇偶分析法关键是奇偶性分析（奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数），可要记牢了哦。 最后一种分析方法是：从大数入手。 这里仍然一道例题为例： Eg4:求二元一次不定方程的整数解。 【分析】我们通过观察发现，和为23，其中比较接近，我们开始尝试，进而求出此不定方程的解。 最大为4，此时，接着往下试， 为3，2时，x的值不符合题目条件， 为1时， 所以符合条件的只有两组解： 以上我们一起学习了二元一次不定方程的四种分析方法，很多时候一道二元一次不定方程不止一种解法来解，可以用多种方法来解决，这里由于篇幅原因，就不一一累述。 【课后巩固】：1.求二元一次不定方程3x+11y=45的正整数解． 2.小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？