一类椭圆系统解的存在性.pdfVIP

第 38卷第2期 兰 州 大 学 学 饭 (自 然 科 学 版 ) V0L38No 2 2002年 4月 J0urnalofLanzhouUniversity(NaturalS~iences) Apr．2002 文章编号；0455—2059(2002)02—0007—05 一 类椭圆系统解的存在性 王建生 ，安玉坤 (1．甘肃中医学院 公共课部，甘肃 兰州 730000； 2．西北师范大学 数学与信息科学学院，甘肃 兰州 730070) 摘 要；讨论一类带次线性与超线性项的二阶椭圆系统．利用临界点理论，分别在这两种情况下得 到了非平凡解的存在性． 关键词：椭圆系统j次线性；超线性；临界点 中图分类号：O175．2 文献标识码；A 1 介绍与准备 设0CR (Ⅳ≥3)是一个有界光滑区域，扣 是其边界；a，6，c∈R为常数．本文研究如下二 阶椭圆系统 一 △ 一 口“+ +gl ，口)， 在n 内，1 一 ? )I在蚋，} (1) “一 口一0， 在 加 上， I “，口 0， 在 n内． J 其中为了应用临界点理论，假设存在函数G：R×R—R使得 G(“，口) (g1 ，)，g? ，))． 文献[13使用Green函数及不动点定理在一定情况下讨论丁(1)解的存在性．文献[2，3]使用 度数理论研究问题(1)，在不同条件下也得到了解的存在性．同时有大量文献使用l临界点理论 讨论问题(1)，如文献[4～8]，其中文献[7，8]在台同与非合同两种条件下，当非线性位势次二 次与超二次时给出了解的存在性．最近的文献I-9]研究丁(1)的一种特殊情况： gl(“，)= … I g2(，口) 川 。， 比较详细地给出了当 -I- 次临界与临界情况下解的存在性及超l临界时解的不存在性．本文 的 目的是将文献[9]的部分结果推广到一般情况，在不同于上列文献中的条件下讨论当非线 性项次线性与超线性时问题(1)解的存在性，所用方法仍然是临界点理论． 设A：f：。}为一个二阶矩阵，候定满足条件： (Ao)60，A有两个实特征值 1， ，且设 I≤ 2． 令 0CER (Ⅳ3)是一个有界光滑区域 引进以下两个空间 L L (n)×L。(n)， 圩 = H5(n)×H；(0)． 收稿 日期 ：2001—10—30． 作者简介：王建生(1953．)，男，副教授 8 兰 州 太 学 学 扳 (自然 科 学 版 ) 第38卷 对 U一 (l，“2)，V= (l，2)，定义 (u，y)一 I(“l口l+ 22)dx， (2) (u，y)H Jn(V】VI+Vu2V)dx， (3) I1￡J( 。+ )dx， (4) J(IV-I。+IV“。I)dx， (5) 则空间工和 分别在内积(2)，(3)之下构成Hilbert空间，而(4)，(5)分别是工， 上由相应 内 积导出的范数．用 表示 的对偶空间，易知嵌入 c工c ’连续稠而且是紧的． 记 和 竹 )为如下问题