一类时滞微分方程的周期解与概周期解.pdfVIP

第 19卷第 4期 甘肃联合大学学报 (自然科学版) VoL19No．4 2005年 1O 月 JournalofGansuLianheUniversity (NaturalSciences) 0Ct．2005 文章编号 ：1672-691X(2005)04—0003—04 一 类时滞微分方程的周期解与概周期解 匀匕志健 (安徽建筑工业学院 数理系 ，安徽 合肥 230022) 摘 要 ：研究一类时滞微分方程的周期解与概周期解 ，运用 比较定理和 V 函数法 ，得 出该方程存在惟一的全 局吸引的正周期解的充分条件 ，同时也研究了其概周期解的存在惟一性与一致渐近稳定性条件． 关键词 ：时滞微分方程 ；比较定理 ；周期解 ；全局吸引；概周期解 中图分类 号 ：O175．1 文 献标 识码 ：A 对微分方程周期解的研究历来受到诸多学者的关注 ，取得了不少好的研究结果．文 [1]运用拓 扑度方法讨论了一类时滞微分方程的周期解 ，文[2]运用 Krasnoselski锥拉伸和锥压缩不动点研究了一 类时滞单种群 Logistic模型的周期解的存在性 ，文[3]运用矩阵测度和不动点定理研究了一类高维非 自 治 Volterra系统的周期解的存在惟一性和稳定性．对于如下的一类具有时滞的微分方程： — ， ． 27(￡)一z(￡)J6(￡)一n(￡)z(￡)一 f(￡，32(￡一Z．))I． (1) 一 目前还没有见到对该方程周期解 的研究．本文运用比较定理和 V函数法研究其周期解的存在惟一 性与全局吸引性．同时 ，在概周期条件下 ，研究了(1)的概周期解的存在惟一性与一致渐近稳定性． 在方程 (1)中，a(￡)O，a(￡)，6(￡)都是 周期函数，ZiO(一1，2，… ，)． 记 z．一max{z．。}，C 一C([一z．，O]，R )表示所有非负连续 函数构成的Banach空间． 初始函数 ∈C ，(O)O．易验证 R 是方程 (1)的正不变集． a 设 (H )， (￡，z)关于第二个变量 32单调递增 ，且当xO时，有 O (￡，z)一z，(一1，2，…，)， 7Z 其中 旦一infa(￡)． 1 周期解 考虑方程 Y(￡)一 (￡)[6(￡)一a(￡) (￡)]． (2) 其 中a(￡)O，a(f)，6(￡)均为 周期函数，(O)O． 由文E43，我们有以下引理 ： 引理1若 l6(￡)dt0，则方程(2)存在全局渐近稳定的 正周期解Y (￡)，且 I6(￡)dt— la(t)y (￡)dt． 定理 1 设 (H )成立 ，且满足 (H。)6(￡)d￡。；(H。)存在常数M。，使得af,l≤M(一1，2，…州)；(H4)塞M≤旦． 则方程(1)存在惟一的全局吸引的 正周期解． 证明 由式 (1)得z(￡)≤z(￡)[6(￡)一 “(￡)z(￡)]． 收稿 日期 ：2005—04—12． 基金项 目：安徽建筑工业学 院硕士科研基金资助项 目(Y2004—43)． 作者简介 ：姚志健 (1975一)，男，安徽建筑工业学院数理系讲师，硕士，主要从事微