一类不定方程的解.pdfVIP

西北大学学报 (自然科学版) 2004年 1O月 ，第34卷第 5期 ，Oct．，2004，Vo1．34，No．5 JournalofNo~hwestUniversity(NaturalScienceEdition) 一 类不定方程的解 窦晓霞，华保军，袁 进 (西北大学 数学系 ，陕西 西安 710069) 摘要 ：目的 讨论不定方程 ag．+by +CZ = +dxyz满足一定条件的整数解。方法 主要利用同 余理论和初等数论 中的有关结论。结果 给 出了不定方程的满足所给条件的整数解。结论 推广 了不定方程的研究范围，为进一步研究提供了方向。 关 键 词 ：不定方程 ；同余 ；同余方程 ． 中图分类号 ：0156．4 文献标识码：A 文章编号 ：1000-274X(2004)05-0507-03 1979年，G．Rosenberger…讨论了n +6)，2+cz 所列情况之一 。 = dxyz的求解问题 。2001年 ，袁进等 给出了关于 表 2 方程 【1)满足条件l2)的整数解 不定方程 n +6y +cz =1+dxyz的求解方法。在 Tab．2 Theintegersolutionssatisfying(1)and (2) 这些结果的基础上 ，我们将此类问题进行了扩展，本 文主要结果如下。 定 理 设 a，b，C，d为正整数 ，满足条件 (a，b， C)=1，aId，bId，CId，则不定方程 0 +6)，+cz = +dxyz (1) 满足条件 1≤ ≤dyz／(2a)，1≤Y≤dxz／(2b)， 1 主要引理 1≤z≤dxy／(2c)， (2) ≤min(v／bb~-y， c／nz) (3) 引理 1 设 ， ，…，)是 凡元整系数多项 的整数解必是表 1所列情况之一。 式 ，若不定方程 。， ，…， )=0有整数解，则此 表 1 方程 (1)满足条件 (2)和 (3)的整数解 不定方 程 对 应 的 同余 方 程 ， ，…， ) Tab．1 Theintegersolutionssatisfying (1)。(2) 0(modm)对所有的正整数 m有解。 and (3) 证 明 参见文献[4]。 引理 2 设 是不定方程 (1)的解 ，则 一定满 case (Ⅱ，b，c，d) (，Y，z) case (Ⅱ，b，c，d) (，Y，z) 足不等式 4≤旱旦 9。 D c 证 明 对于不定方程 (1)，设 = ，Y = √6y，z= ，d =d／ n6c，则式(1)可变形为 ， 。2 + ’，’2 + z’^ = 二+d ’，z。 √n 其 中，(，Y，z)为方程 (1)的解。由式 (