一种新型压缩预处理CGS算法.pdfVIP

维普资讯 第25卷第1期 数学理论与应用 V0I．25No．1 2005年3月 MATHEMATICALTHEoRYANDAPPLICAT卫ONS Mar．2005 一 种新型压缩预处理CGS算法。 全 忠 周永雄 (中南大学数学科学与计算技术学院，长沙，410083) 摘 要 CGS算法是求解大型非对称线性方程组的常用算法，然而该算法无极小残差性质，因此它常因出现 较大的中间剩余向量而出现典型的不规则收敛行为．本文根据IRA方法提出了一种压缩预处理CGS方法，数 值实验表明这种算法在一定程度上减小了迭代算法在收敛过程中的剩余问题，从而使得算法具有更好的稳 定性，该法构造简单，减少了收敛次数，加快了收敛速度． 关键词 CGS GMRES IRA方法 预处理因子 速代法 A new deflatedprec0nditi0ningCGSalgorithm QuanZhong ZhouYongxiong (SchoolofMathematicalScienceandComputingtechnology，CentralSouthUniversity，Changsha，410083) Abstract CGSalgorithm ispopularforsolvinglargescalenonsymmetriclinearequation．However，ithasno minimalresidualpropertyandtypicallyexhibitaratherirregulateconvergencebehaviorwithwildoscillations intheresidualnorm．Hereanew preconditioneddeflatedCGSalgorithm basedonIRA methodispresented． Numericalexperimentsshow thatthealgorithm canworkwelltOlowerthenormsoftheresiduals，which makethealgorithm performsmorestable．Andafasterconvergentrateoftheiterativemethodisschieved． Keywords CGS GMRES IRA methods preconditioner iterativemethods． 1 引 言 在求解偏微分方程时，无论采用有限差分方法或者有限元方法离散，很多问题最终都必须 求解一个非对称的大型稀疏系数矩阵的线性方程组 AX — b (1．1) 其中A∈ 非奇异，b是列向量． 构造对于问题(1．1)的高效率的迭代解法，是当前计算方法中的一个极其活跃的研究方 向，一类是基于正交投影的极小残差投影方法，如GCR法，FOM法或Arnoldi法和GMRESe] 法等；另一类是用CG型方法来解，在众多CG类方法中，最为引人注 目的是BiCG方法E和 ·韩旭里教授推荐 收稿 日期：2004年7月9日 维普资讯 78 教学理论与应用 第25卷 CGS方法[33，BiCG方法和CGS方法都是在重新解释CG方法的基础上提出来的，1989年Peter Sonneveld在对BiCG方法进行矩阵多项式理论分析的基础上提出了CGS方法，详细分析见文 [3]，在节省存储空间和计算时间方面，CGS对CG方法作出了巨大的改进．然而，在实际应用 中，CGS方法常因出现较大的中间剩余向量而严重影响算法的收敛速度，甚至会导致算法的 发散．针对CGS算法的这一问题，很多人提出了