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随机误差的处理 数学期望 方差 （标准差σ） 随机变量A 定义式 估计 算术平均值 的标准差 * 随机测量数据的置信度 置信度是表征测量结果可信赖程度的一个参数，用置信区间和置信概率来表示。 置信区间[-a，+a] 是鉴定测量系统的设计误差指标，对于已有的检测系统，随机误差δ服从正态分布，标准误差σ已知。 区间[- a ~ +a]与 曲线构成的面积就是测量误差在[-a ~ +a] 区间出现的置信概率。 * 随机测量数据的置信度 置信概率计算 置信概率等于在置信区间对概率密度函数的定积分； 随机误差出现的概率就是测量数据出现的概率； 由于服从正态分布的概率密度函数具有对称性，随机误差概率公式为: 置信区间可用标准误差的倍数 K 来表示， K 称为置信因子，即： * 随机测量数据的置信度 令 ，因 ，积分由 0 到 a 变为由 0 到 K : 上式是一个计算比较复杂的积分，可以通过查 K-φ(K) 表获得积分值。 * 随机测量数据的置信度 K φ(K) 0.0 0.000 00 0.5 0.382 92 1.0 0.682 69 1.5 0.866 39 2.0 0.954 50 2.5 0.987 58 2.58 0.990 12 2.6 0.990 68 3.0 0.997 30 随机误差大于 3σ 概率为0.002 7，几乎为零，故常将标准差的3倍作为正态分布下测量数据的极限误差。 * 随机测量数据的置信度 【例】对某电阻作无系统误差等精度独立测量，已知测量数据服从正态分布，其标准差为0.2Ω，求被测电阻真值R 落在区间[R - 0.5, R + 0.5]Ω的概率。 相应的置信概率为： 同样可以算出，当置信区间要求为： 运算表明：当置信区间要求为： 相应的置信概率为： * 随机测量数据的置信度 由给定或设定置信概率P来计算置信区间[-a，+a]； 【例】对某电压值进行测量，其标准差为0.02V，期望值为79.83V，求置信概率为99%时所对应的测量置信区间。 * 随机测量数据的置信度 置信概率与置信区间的说明 A. 对给定置信概率，测出的置信区间愈小，表明系统的测量精度愈高。 B. 对给定置信区间，测出的置信概率越大，表明系统越可靠。 * 随机误差的处理 随机误差处理 平均值处理方法 被测样品的真实值是当测量次数n为无穷大时的统计期望值。n次采样数据算术平均值的标准误差 为: 由上式可见：测量列的算术平均值的标准误差 只是各测量值的标准误差σ的 。因此，以算术平均值作为检测结果比单次测量更为准确，而且在一定测量次数内，测量精度将随着采样次数的增加而提高。 * 随机误差的处理 平均值先后计算 将式（1）（2）式在真值V0 附近展开泰勒级数，保留到二次项得： （2） （1） * 当采样次数n不受限制时，可以认为平均值 更接近 ， 当测量次数n较大时，可以认为 ，但 不可能为零。 直接采样信号的平均值就是系统对检测信号的最佳估计值，可用平均值代表其相对真值； 如果被测量与直接采样信号函数关系明确，将各直接量的最佳估计值代入该函数，所求出值即为被测量的最佳估计值。 ，因此应采用： 随机误差的处理 * 数据序列数n的确定 标准误差 σ是在采样次数n足够大得到的，但实际测量只能有限次，测量次数n如何确定？ a 实际测量中的有限次测量只能得到标准误差的近似值 b 通过贝塞尔公式求标准误差的近似值 c 采用近似值 通过谢波尔德公式确定测量次数n。 随机误差的处理 * 由贝塞尔（Bessel）公式可推导出用剩余误差计算近似标准误差为： 谢波尔德公式给出了标准误差 、近似误差 以及检测设备分辨率ω之间的关系： 当测量次数n增加，利用随机误差的抵偿性质，使随机误差对测量结果的影响削弱到与 相近的数量时，近似误差就趋于稳定，此时测量次数n为选定值，一般 n 在 10~20之间。 随机误差的处理 * 粗大误差的剔除 物理判别法——测量过程中 ——人为因素（读错、记录错、操作错） ——不符合实验条件/环境突变（突然振动、电磁干扰等） ——随时发现，随时剔除，重新测量 统计判别法——测量完毕 按照统计方法处理数