弱c~#-正规子群与有限群的p-超可解性.pdfVIP

2012年 3月 广西师范学院学报：自然科学版 Mar．2012 第29卷 第 1期 JournalofGuangxiTeachersEducationUniversity：NaturalScienceEdition Vo1．29No．1 文章编号：1002—8743{2012)01—0001—04 弱 c#一正规子群与有限群的P一超可解性 韦华全，张晓荟，杨立英，英琼 (广西师范学院 数学科学学院，广西 南宁 530023) 摘 要：若 G是一个有限群 ，H是G的 可解正规子群使得G／H为 超可解，且下列条件之一满足，则 G是 超可解：(1)H的Sylow 子群P的极大子群在G 中弱c ．正规；(2) (H)包含 Oe，(H)的极大子群都在G 中 弱 f 一正规 ． 关键词：弱C 一正规； 可解；p-超可解；极大子群 中图分类号：O152 文献标识码：A 1 引 言 本文之群皆指有限群，N ·G表示N是G的极小正规子群，M ·G表示M 是G极大子群，7r (G)表示lGf的素因子集，其他术语和符号都是标准的 ． 1996年王燕鸣在 [1]中引入了c一正规子群的概念，作为应用，他给出了群可解和超可解的若干判别 准则 ．作为 C一正规和可补概念的统一推广，王燕鸣、Ballester—Bolinches和郭秀云在2000年引入了c-可 补子群的概念 ．1962年Gaschtitz在 [2]中引人了可解群子群的某个共轭类，他称这些子群为Pre—Fratti— ni子群 (后来称为CAP一子群)．这些子群具有所谓的覆盖一远离性质 ．2005年韦华全在 [3]中引入两个 新的子群性质即 #一正规性和c#可补性，它们分别为覆盖．远离性和c一正规性及覆盖．远离性和c一可补 性的统一推广 ．并利用少量极大子群、2极大子群和Hall子群的c#一正规性和c#一可补性，获得了有限 群可解和 可解的若干新的判别准则，改进、推广了若干涉及 C一正规性、覆盖一远离性和C一可补性的结 论 ．除此之外，他还利用SylowP一子群P的极大子群的c#一正规性确定了群的 超可解性 ． 在这篇文章中，我们试着弱化 c#正规的条件引入弱c#一正规的概念 ，并利用Sylowp-子群极大子 群的弱c一正规性确定群的P超可解性 ． 2 定义及引理 定义2．1 设H是群G的一个子群，M ／N为G的一个主因子 ．若MH=NH，则称H覆盖M ／N； 若HnM：HnN，则称 H远离M ／N；若 H或覆盖或远离G的每个主因子，则称 H具有覆盖_远离性 质，也称 H为G的CAP一子群 (参考[4])． 定义2．2([3，定义 1．2．1]) H称为在G中c一正规，如果存在 G的正规子群K满足G=HK且 HnK是G 的G 一子群 ． 定义 2．3 H称为在G 中弱C 正规，如果存在 G的次正规子群K满足G=HK且HnK是G 的 CPA．子群 ． 引理2．4([3，引理 1．2．5]) 设 G为群，H≤G，N是G的正规子群，则 收稿 日期：20l1—12—31 * 基金项目：国家自然科学基金11161006；广西自然科学基金项 目(0991101，0991102)；广西教育厅科研基 金项 目(200807Lx432，00911MS145) 作者简介：韦华全，男，教授，博士，主要从事有限群理论的研究 ． · 2 · 广 西 师 范 学 院学 报：自然 科 学 版 第29卷 (1)若 H是G的CAP一子群，则H／N是GIN 的CAP子群； (2)若 N≤G，则 H是G的CAP一子群当且仅当H／N是G／N的CAP一子群 ． 引理2．5 设 G为群，H≤G，N是G的正规子群，则 (1)如果N≤G，那么H 在G中弱f#一正规当且仅当H／N在G／N 中弱f#一正规； (2)设 丌为素数集，H 是7r一群，N为 一群，如果H在G中弱C 一正规，则瑚、，／N 在G／N 中弱C#． 正规 ； (3)设 L≤G且H≤ (L)．如果H在 G 中弱c#一正规，则H是G 的CAP一子群 ． 证明 (1)