选考4-5不等式选讲.pdf

- 1 - 知识体系 不等式的基本性质 含有绝对值的不等式 不 等 不等式的证明 柯西不等 式 选 几个著名的不等式 式 讲 排序不等式 平均不等 数学归纳法证明不等式 式 第一节 不等式和绝对值不等式 必威体育精装版考纲 1. 理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R)； |a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R). 2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c；|ax+b|≥c；|x-a|+|x-b|≥c. 基础热身 基础梳理 1. 实数的运算性质与大小顺序的关系 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： ab a-b0;a=b a-b=0;ab a-b0. 得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察 即可. 2. 不等式的基本性质 (1)如果ab，那么 ；如果ba，那么 ，即ab .(对称性) (2)如果ab，且bc，那么 ，即ab，bc . (3)如果ab，那么 ，即ab . 推论：如果ab，且cd，那么 ,即ab， cd ． (4)如果ab，且c0，那么 ；如果ab，且c0，那么 ． (5)如果ab 0，那么 (n∈N，且n1). (6)如果ab 0，那么 (n∈N，且n1). 3. 基本不等式 如果a,b∈R，那么 （当且仅当a=b 时取“=”）； 如果a,b∈R+，那么 （当且仅当a=b 时取“=”）； 如果a,b,c∈R+，那么 （当且仅当a=b=c 时取“=”）； 如果a,b,c∈R+，那么 （当且仅当a=b=c 时取“=”）. 4. 算术-几何平均不等式 a a ……a (1)如果 , ,…,a ∈R+,n1 且n∈N*,则 1 2 n 叫做这n 个正数的算术平均 a1 a2 n n - 2 - 数，n …… 叫做这n 个正数的几何平均数； a a a 1 2 n (2)基本不等式： ≥ （n∈N*,ai ∈R+,1≤i≤n). 5. 含有绝对值的不等式有两种基本的类型 （1）设a 为正数,根据绝对值的意义，不等式|x|a的解集是 ，它的几何意义就是 . （2）设a 为正数,根据绝对值的意义，不等式|x|a的解集是 ，它的几何意义就是 . 基础达标 1. 命题p：若a,b∈R，则|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要条件；