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经典题练习 1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 则：∠APB的度数是（ ） 1题 2题 2. 如图，大圆O的直径AB＝12 cm，分别以OA、OB为直径作 ⊙O1和⊙O2，并在⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和 ⊙O4. 这些圆互相内切或外切，则四边形O1O4O2O3的面积为 cm2. 3如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为 A. B. C. D. 解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，　　　　∵APBE，　　　　∴四边形APEB是平行四边形，　　　　∴PE∥AB，PE＝AB，　　　　∵四边形BDEF是平行四边形，　　　　∴EF∥BD，EF＝BD，　　　　即EF∥AB，　　　　∴P，E，F共线，　　　　设BD＝，∵BD＝AB，∴PE＝AB＝4，　　　　则PF＝PE－EF＝3，　　　　∵PH∥BC，　　　　∴，?　　　　∵PF∥AB，　　　　∴四边形BFPH是平行四边形，　　　　∴BH＝PF＝3，　　　　∵＝BH：AB＝3：4＝3：4，　　　　∴＝3：4． 4.（如图，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使 ；连结，再以为边作第三个菱形，使 ；……，按此规律所作的第个菱形的边长为 5.如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结交于； 过作于，连结交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，…，，分别记…，的面积为，….则=________（用含的代数式表示）. 6 如图6，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点， CB的延长线交⊙O于点E. 求证AE=CE； EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F， 若CD=CF=2cm，求⊙O的直径； （3）若 （n0），求sin∠CAB. 证明：（1）连接DE，∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°，∴AE是⊙O直径． ∴∠ADE=90°，∴DE⊥AC．又∵D是AC的中点，∴DE是AC的垂直平分线．∴AE=CE． （2）在△ADE和△EFA中，∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE， ∴△ADE∽△EFA．∴，∴． ∴AE=2cm． （3） ∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，∴∠ADE=∠AEF=90°， ∴Rt△ADE∽Rt△EDF．∴． ∵，AD=CD，∴CF=nCD，∴DF=（1+n）CD， ∴DE=CD． 在Rt△CDE中，CE=CD+DE=CD+（CD） =（n+2）CD． ∴CE=CD． ∵∠CAB=∠DEC，∴sin∠CAB=sin∠DEC ===．，以点为圆心，以长为半径的圆交轴于另一点，过点作交于点，直线交轴于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求点的坐标及直线的解析式； （3）有一个半径与的半径相等，且圆心在轴上运动的．若与直线相交于两点，是否存在这样的点，使是直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． [解] （1）证明：连结 又 又 是的切线． （2）方法①由（1）知 ，，　　　　　① 又，　　　　② 由①②解得（舍去）或， 直线经过，两点设的解析式： 解得直线的解析式为． 方法②：切于点， 又，，即　　　　　① 又，　　　　　② 由①②解得（舍去）或 （求的解析式同上）． 方法③，　　　　　① 切于点，， ， 　　　　② 由①②解得：， （求的解析式同上）． （3）存在； 当点在点左侧时，若，过点作于点， ，， ，，， ，， 当点在点右侧时，设，过点作于点，则 ，可知与关于点中心对称， 根据对称性得 存在这样的点，使得为直角三角形， 点坐标或． 8、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为） （2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出