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第二章 控制系统的数学模型 2-1 控制系统的微分方程 2-2 拉普拉斯变换 2-3 传递函数 2-4 控制系统的结构图和信号流图 数学模型 1.定义：描述控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。 2.为什么要建立数学模型：我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。 3.建立方法 a.分析法 分析法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简单的系统。 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾：简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。 4.表示形式 a.微分方程 b.传递函数 c.频率特性 2-1 控制系统的微分方程 一 控制系统微分方程的建立 微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的关于输入和输出的微分方程。 列写系统（或元件）微分方程的一般步骤: 1.分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量。 2.从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量所遵循的物理或化学规律，依次列写出各元部件的微分方程。 3.消去中间变量，得到一个描述系统输入、输出变量之间关系的微分方程。 4.写成标准形式。将与输入有关的项放在等式右端，与输出有关的项放在等式的左端，且各阶导数项按降幂排列。 例1.机械平移系统 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹x(t)。 首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力 单独取出m进行分析。 例2.RLC电路 研究在输入电压ur(t)作用下，电容上 电压uc(t)的变化。 依据：电学中的基尔霍夫定律 例3.速度控制系统的数学模型—微分方程 解：首先确定整个系统输入 ，输出 1、运算放大器Ⅰ 输入量（即给定电压）与速度反馈电压在此合成产生偏差电压并经放大，即 式中是运算放大器Ⅰ的比例系数。 2、运算放大器Ⅱ 考虑校正网络，与之间的微分方程为 式中是运算放大器Ⅱ的比例系数，是微分时间常数。 3、功率放大器 本系统采用晶闸管整流装置，它包括触发电路和晶闸管主回路。忽略晶闸管控制电路的时间迟后，其输入输出方程为 式中为 比例系数。 4、直流电动机 直接引用例2-9所求得的直流电动机的微分方程式： 式中 、 、 及 均是考虑齿轮系和负载后，折算到电动机轴上的等效值。 5、齿轮系 设齿轮系的速比为 ，则电动机转速 经齿轮系减速后变为 ，故有 6、测速发电机 测速发电机的输出电压 与其转速 成正比，即有 式中是 测速发电机比例系数。 二 线性系统的基本特性 1.定义：用线性微分方程描述的系统称为线性系统。 线性微分方程：微分方程中所含的未知函数及未知函数的导数都是一次的 。 若线性微分方程的系数是常数称为线性定常系统；系数是时间的函数叫线性时变系统。 可加性的应用：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。 三 非线性微分方程的线性化 1