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第二章 插值法与数值微分 目 录 §2-1 线性插值和抛物插值 §2-3 分段插值法 §2-2 拉格朗日插值多项式 §2-4 牛顿插值多项式 §2-5 三次样条插值 §2-6 数值积分 引 言 插值法在工程及建筑设计中应用十分广泛。例如，已知一天24小时的逐时室外气温、综合温度、冷热负荷等值，需要知道其他任意时刻的值，即可应用插值计算求得；又如，我国工业企业采取通风和空气调节设计规范中，仅给出了有限个地区相应有限个方位的夏季太阳辐射热总强度值，以及透过窗玻璃的太阳总辐射强度值，至于其它任意方位（0-350）的中间值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。这个过程就是曲线拟合。 常用曲线拟合方法：插值法、最小二乘法 自然地，希望g(x)通过所有的离散点 本章学习插值法 曲线拟合的几何意义 插值函数的几何意义 y x §2-1 线性插值和抛物插值 一、线性插值 y x y=𝒇（𝒙） 图 2-1 优点：计算简单，以直线代替曲线。 缺点：精度低，误差大。 改进：多用一些点。 【例】已知某多叶调节风阀。当叶片数为n=3时，叶片与气流方向呈各种角度α时。某局部阻力系数β值如下表表示： 求当α等于30°时，多叶调节风阀的局部阻力系数β的线形插值。 并将其代入线性插值公式，有 几何意义：通过三点A、B、C的抛物线代替曲线 其中 为待定常数。 若将A，B，C三点分别代入上式会得到一个有唯一解的三元一次方程，从而 即可确定，但求起来比较麻烦。 简便算法： 见下一页 抛物插值公式：（二次插值公式） 稍加整理即得抛物插值公式。 【例3】 分别计算下列各题： 1）利用100和121求平方根115； 2）利用100，121和144求平方根115。 解:用线形插值求解问题1） 与所求平方根的实际值10.72387比较，得到了具有三位有效数字的结果10.71428 。 用抛物插值求解问题2） 与平方根实际值10.7238比较，10有四位有效数字，显然比线形插值的结果好。一般地说，抛物插值比线形插值近似程度要好些。 一、拉格朗日插值公式： 问题提出： 这节就具有一般形式的代数插值问题（即已知函数 在n+1个点上的函数值 求一个n次多项式 ，并满足条件 ， ）来讨论如何构造其插值多项式 。 §2-2 拉格朗日插值多项式 这就是所要求的插值多项式，称为拉格朗日（Lagrange） 插值多项式。 当n=1时，就得出线形插值多项式， n=2时，就得出抛物插值多项式。 二、拉格朗日插值余项： 插值余项： 定理： 证明： 当 X为节点时，两边皆为0，显然成立。 下设 X 不为节点。作辅助函数 即问题得证。 这个定理所讲的余项用起来有一定的困难 ，因为实际计算时，只是给出 的一张数据表，并未给出具体的解析式子，故 并不知道，所以 也就无法得到。 【例4】在例3中分别用线性插值 和抛物插值计算了 的近似值，试估计它们的截断误差。 解：记 由插值多项式有 故 根据余项公式，若能估计出 的上界 ， 那么将有 三、插值误差的事后估计法 利用余项公式知： 稍加整理得： 这种用计算的结果来估计误差的办法，通常称为事后估计，在计算中是常用的，这种估计误差的方法，将贯穿我们计算方法这门课程的始终。 四、拉格朗日插值多项式的优缺点： 优点：拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便 缺点： a.不具备递推性，当需要增加节点时需要重新计算； b.龙格（Runge）现象:高次拉格朗日插值多项式稳定性差，对于计算过程的舍入误差十分敏感，当插值节点增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善，有时反而误差更大。 龙格就给出了一个例子：设被插值函数 取等矩节点 ，作拉格朗日插值多项式 。 当 n=10 时，函数 及插值多项式 的图形如下所 示。由图可见，在区间[-0.2，0.2]上 比较接近