第七章 自由曲线曲面.pptVIP

Bezier曲线 Bezier曲面 B样条曲线 B样条曲面 7.1 基本概念 7.4 Bezier曲线 7.5 Bezier曲面 7.6 B样条曲线 7.7 B样条曲面 本章总结 工业产品的几何形状大致可分为两类：一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面和圆环面等组成，可以用初等解析函数完全清楚地表达全部形状。另一类由自由曲面组成，如汽车车身、飞机机翼和轮船船体等曲面，不能用初等解析函数完全清楚地表达全部形状，需要构造新的函数来进行研究，这些研究成果形成了计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)学科。 7.1.1 曲线与曲面的表示形式 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线，或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。为了保证在连接点处光滑过渡，需要满足连续性条件。 7.2 Bezier曲线 7.2.1 Bezier曲线的定义 给定n+1个控制点Pi（i＝0，1，2……n），称为n次Bezier曲线。 t∈〔0，1〕 式中，Pi（i＝0，1，2……n）是控制多边形的n+1个控制点，控制多边形是连接n条边构成的多边形。Bi,n(t) 是Bernstein基函数，其表达式为： 当n＝1时，Bezier曲线的控制多边形有二个控制点P0和P1，Bezier曲线是一次多项式。 一次Bezier曲线是一段直线。 当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线是三次多项式。 三次Bezier曲线是自由曲线。 三次贝塞尔曲线写成矩阵形式为 7.2.2 Bernstein基函数的性质 7.3.1 Bezier曲面的定义 Bezier曲面是由Bezier曲线拓广而来，以两组正交的Bezier曲线控制点构造空间网格来生成曲面。m×n次张量积形式的 Bezier曲面的定义如下： （u，v）∈〔0，1〕×〔0，1〕 7.3.2 双三次Bezier曲面的定义 双三次Bezier曲面定义如下： （u，v）∈〔0，1〕×〔0，1〕 7.4 B样条曲线 Bezier曲线虽然有许多优点，但也存在不足之处： 其一、确定了控制多边形的顶点个数为n+1个，也就确定了曲线的次数为n次； 其二、控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越高，逼进程度越差； 其三、曲线不能局部修改，调整某一控制点将影响到整条曲线，原因是Bernstein基函数在整个区间[0，1]内有支撑，所以曲线在区间内任何一点的值都将受到全部顶点的影响，调整任何控制点的位置，将会引起整条曲线的改变； 其四、Bezier曲线的拼接比较复杂。 为了解决上述问题，Gordon和Riesenfeld于1972年用B样条基函数代替了Bernstein基函数，构造了B样条曲线。B样条曲线比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易达到C2连续性），其多项式的次数可根据需要指定，而不像Bezier曲线多项式的次数是由控制点的个数来确定。除此之外B样条曲线的突出优点是增加了对曲线的局部修改功能，因为B样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲线的控制灵活而直观。修改某一控制点只引起与该控制点相邻近的曲线形状发生变化，远处的曲线形状不受影响，这种优点使得B样条曲线广泛应用于交互式自由曲线曲面设计。 7.4.1 B样条曲线的定义 给定m+n+1个控制点Pi（i＝0，1，2，…，m+n ），可以定义m+1段n次的参数曲线 为n次B样条基函数，其形式为 7.4.2 二次B样条曲线 二次B样条曲线的n＝2，k＝0，1，2。二次B样条曲线是二次多项式 。 7.5 B样条曲面 7.5.3 双三次B样条曲面的连续性 我们知道，给定次数的Bezier曲面的控制点个数是确定的。如果要描述复杂的曲面形状，只能升高曲面的次数或者用多张Bezier曲面片拼接起来表示，这在实际应用中会增大计算量并且使算法变得复杂。B样条曲面可以较好地解决这个问题，对于给定的曲面次数，B样条曲面的控制点数目可以根据曲面的形状来自由决定，而且可以保持曲面处处光滑，因此B样条曲面在曲面造型方面具有更大的灵活性。 双三次B样条曲面的优点是极为自然地解决了曲面片之间地连接问题，例如，只要将控制网格沿某一个方向延伸一排，就可以决定另一个曲面片，此时曲面片理所当然地保证二者之间达到了C2连续性。 本章小结 本章讲解了Be