拓扑空间可度量化的充要条件.pdfVIP

数 学 杂 志 Vo1．35(2015) J．ofMath．(PRC) No．4 拓扑空间可度量化的充要条件 陈 娟，高随祥 (中国科学院大学数学科学学院，北京101408) 摘要： 本文研究了拓扑空间的可度量化的充要条件．利用可数开覆盖的性质和度量化的遗传性 及定义，获得了拓扑空间可度量化的两个充要条件结果，推广了构造可度量化的拓扑空间和判断拓扑 空间是度量空间的依据． 关键词： 拓扑空间；度量空间；可度量化；充要条件 MR(20101主题分类号：54A05 中图分类号：O189．11 文献标识码： A 文章编号：0255—7797(2015)04．0952—05 1 引言 由于度量空间具有 良好的性质，研究拓扑空间是否可度量化的判定条件具有很重要的 意义．关于拓扑空间可度量化的条件，在一些拓扑学的重要著作中都作为重要章节进行介绍 l【一7l其中两个最著名的充要条件 Nagata-Smirnov度量化定理 []和Alex—Urysohn度量化定 ， 理 3【】．这两个重要定理均是从拓扑空间可度量化的定义出发，通过分析拓扑空间和度量空间 的性质而得出的．后续对拓扑空间可度量化的研究大都是在这两个定理的基础上给出的，例 如文献 3『1中的martin定理和Bing度量化定理． 本文主要研究拓扑空间的可度量化问题，获得拓扑空间可度量化的两个充分必要条件． 首先基于是Nagata-Smirnov度量化定理和 Alex-Urysohn度量化定理，利用可数开覆盖的性 质和度量化的遗传性，获得可度量化的一个充要条件；其次从拓扑空间可度量化的定义出发， 得到了拓扑空间可度量化的另一个充要条件． 2 预备知识 为了方便后面结论的叙述和证明，我们需要给出一些相关的概念和定义．度量空间和拓 扑空间是本文的研究对象，其定义如下： 定义 2．1[l设 是一个集合，P：X ×X— R，如果对于任何 ，Y，z∈X，有 (1)(正定性)p(x，Y) 0，并且p(x，Y)=0当且仅当X= ； (2)(对称性)p(x，Y)=p(y，)； (3)(三角不等式)p(x，) p(x，Y)+p(z，)， 则称P是集合X 的一个度量，称 (X，P)是一个度量空间． 定义 2．2[11设 (X，P)是一个度量空间， ∈X 对于任意给定的实数 E0，集合 {∈xlp(~，Y) 】_称为一个以z为中心，以E为半径的球形领域，简称 的一个球形领域， 收稿 日期：2013—11．14 接收日期：2014—05—19 基金项目：国家重点基础研究发展计划 (973)项目基金资助 (2011CB706901)；国家自然科学基金项 目 基金资助 ． 作者简介：陈娟 (1988一)，女，甘肃金昌，硕士，主要研究方向：通信网络优化． 陈娟等：拓扑空间可度量化的充要条件 953 记作B(x，E)．设 是度量空间 的一个子集，如果A中的每一个点都有一个球形领域包含 于 ，则称 是度量空间X 中的一个开集． 定义 2．3 【]设 是一个集合， 是 的一个子集族．如果 满足如下条件： (1)X， ∈ ； (2)若 ，B ∈ ，则AnB ∈ ； (3)若 c ，则 【JA∈ ， A L 则称 是 的一个拓扑，而称偶对 (， )是一个拓扑空间， 的每个元素都叫做拓扑空间 (，)的一个开集．对任意集合 YEX，称拓扑空间 ( ly)是 (，)的一个拓扑子空间， 其中 ly= yNA[A∈ ． 本文主要探讨拓扑空间可度量化的条件，可度量化的概念如下： 定义2．4[】设 (X，P)是一个度量空间，令 为由X的所有开集构成的集族，则称 是由度量P诱导出来的拓扑．设 (x，)是一个拓扑