向量与定比分点问题研究.docVIP

山西省侯马市平阳中学 黄勇 邮编 043000 手机 办公室0357-4252243 PAGE aPAGE 5 向量与定比分点问题研究 考点动向： “定比分点”这一部分主要考查向量的基本概念和基本运算，常见题型有：求点分有向线段所成的比、求定比分点的坐标，试题难度不大，多出现在选择、填空题中。我们需要理解公式的推导过程，解决问题时还能回到定义中去，用向量运算的相关知识，解决定比分点问题。 方法范例 例1：（2006年天津市高三数学理科第三次六校联考试卷） 若点B分的比为，且有，则等于 （ ） A.２ B. C.1 D.－1 [解析] 已知点B分的比为，求点C分的比。可以利用定比分点解决，也可以画出图象，利用图象解决问题。 [答案] 方法一：因为点B分的比为，所以，变形有，所以，答案C。 方法二：由图象BC=CE，可以很快判断答案C。 例2： （06湖北）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是 A． B． C． D． [解析] ：由，所以点P分的比为2，根据定比分点的公式，以及将转化成代数的形式，通过适当的化简即可。也可还原回定义解决。 [答案]法1：点，点与点关于轴对称，所以， 设根据且，根据定比分点公式及向量的数量积公式可得 ，带入得到， 由于过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点， 故，故选D 法2：由及分别在轴的正半轴和轴的正半轴上知， ，，由点与点关于轴对称知，，=，则。 [规律小结] 1.的符号与分点P的位置之间的关系： 当P点在线段 PP上时0，； 当P点在线段 PP的延长线上时－1； 当P点在线段PP的延长线上时，； 若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。 由的符号可以确定分点P在有向线段的位置，反之亦然。同时这种情况应注意。 2.定比分点公式 设点分有向线段所成的比为，即，且，则，特别地，当时，既为中心点公式 使用定比分点公式时，它一共涉及起点坐标、终点坐标、分点坐标、定比七个量，它们之间固有的联系有两个方程，故已知其中五个量能求其余两个量，若是只考察其中一个方程（如横坐标关系式），只须已知其中三个，可求第四个．对此，我们不仅要考察公式的原形，还需掌握公式的变形。当出现的量比较多，比分点公式的运算比较繁琐，容易混淆，可以尝试回到定义中，如例2的解法2。 重心坐标公式：△ABC的三顶点坐标为，，，则重心坐标为； 平行四边形ABCD的四顶点为，，，，则一定有，； 这些小结论在解题时对我们是非常有帮助的，往往可以让你一眼看穿题目的本质。 3、定比分点的向量表达式： 若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点； 由此可得：设三点A、B、C不共线，若，则 点P∈直线BC； 特别地若，则 这个小结论在05年，06年高考中都有试题涉及。 考点误区分析 在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，它们的顺序关系不能出差错，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。 同步训练： 1． （2006年辽宁卷）设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是 （ ） (A) (B) (C) (D) 2．（05全国卷Ⅱ）已知点A（，1），B（0，0）C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于 （ ） A．2 B． C．－3 D．－ 3.（04年湖北卷.文2）已知点和. 直线与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3：2，则m A． B． C． D．4 4.(2005年湖南卷)已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率 为e。直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共 点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ。 证明：λ＝1－e2 [参考答案] 1[解析] 解得: ,因点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是。 在转化的过程中也可以直接的利用坐标的形式进行化简。 [答案] 答案B. 2.[解析] 法1：画出图象，利用图象的关系，可以判断且， 法2：利用∠BAC的平分线AE的几何性质，有，E为BC的内分点，，所以则 [答案] 答案C。 3.[解析] 设点，由题意有，带入直线方程中得m=4。 [答案] 答案D。 4[解析]解:证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是. 所以点