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向量的内积与二面角的计算 林 磊 PAGE PAGE 4 向量的内积与二面角的计算 华东师范大学数学系 林 磊 在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式： (1) 其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。，， 。为二面角P-MN-Q（见图1）。 图1 公式（1）可以利用向量的内积来加以证明： 以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则，得 ，，。 分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量，，则。 由计算知，的坐标分别为 ，， 于是， 。 公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。 例1．立方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。 求面EFG和面GHI的夹角的大小（用反三角函数表示）。 解 由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平面。而就是二面角G-IH-（见图3）。利用公式（1），只要知道了，和的大小，我们就能求出。 图2 由已知条件，和均为等边三角形，所以，而。因此， 图3 ， 即 。 解得 ， 。 当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角来。 例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。 解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q是两个相邻的面，MN是它们的交线（如图4），则公式（1）中的，，分别为： ， ， ， 因此它们均为正五边形的内角。所以 。 图4 所以，由公式（1）知 ， 或 。 因此，，或。 如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角的大小在计算上要复杂很多。 利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。 设单位棱长正十二面体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其顶点。设该正五棱锥为，从而可知： 。 再设的底面积为S、高为h，设为单位边长正五边形（即的底）的中心，A、B为该五边形的两个相邻的顶点，H为AB的中点，，则 ， ， 。 仍设为正十二面体两相邻面的夹角，则。所以 。 但是， ， 从而 ， 或，这一结果与[2，p86]中的结果相吻合。 参 考 文 献 《高等代数与解析几何》（I），陈志杰主编，高等教育出版社，施普林格出版社，2000 年6月 《数学手册》，高等教育出版社，1979年5月 地址：中山北路3663号，华东师范大学数学系，上海200062 e-mail: HYPERLINK mailto:linalgebra@ linalgebra@ 2001年10月8日