向量坐标运算公式的推广.docVIP

PAGE PAGE 4 收稿日期：2007-02-10 作者简介：胡晶地(1964- )，男，浙江东阳人，本科，副教授。 向量坐标运算公式的推广 胡晶地 （浙江广厦建设职业技术学院 信息与控制工程学院，浙江 东阳 322100） 摘 要: 我们在直角坐标系中向量坐标运算公式的基础上，利用线性变换，把仿射坐标系中的问题转换为直角坐标系中的问题，给出了在一般仿射坐标系下的向量坐标运算公式，使一般仿射坐标系中有关长度、角度等问题的计算以及平行与垂直等问题的讨论变得方便简捷。 关键词: 向量 坐标 直角坐标系 仿射坐标系 线性变换 The Promotion of Coordinates Vector Computing Formula Hu Jindi (Information Engineering Dept., Guangsha College of Applied Construction Technology, Dongyang 322100, Zhejiang) Abstract: On the basis of Coordinates vector computing formula in the Cartesian coordinate system, using linear transformation, we transform the questions in affine coordinate system into those in Cartesian coordinate system and give Vector coordinates computing formula in general affine coordinate system, which makes simpler the calculation of the length and angle problem and discussion of Parallel and vertical problems. Key words: Vector; Coordinate; Cartesian coordinate system; affine coordinate system; linear transformation 在空间直角坐标系中，因为有下面的定理1与2，所以在计算有关长度、角度等问题及讨论有关平行与垂直等问题时显得非常方便。 定理1 在直角坐标系中，设向量， 向量，则。[1] 定理2 在直角坐标系中, 设向量, 向量，则 。[1] 但在一般仿射坐标系中没有上述结论,因而在计算和讨论时非常繁琐，一般解析几何的教材都没有涉及这方面的内容。我们利用线性变换，对上述两个定理进行有益的推广，把仿射坐标系中的问题转换为直角坐标系中的问题，从而使一般仿射坐标系中有关长度、角度等问题的计算及有关平行与垂直等问题的讨论变得方便简捷。 设为一仿射坐标系，为一直角坐标系，且有线性变换 即 其中为3阶方阵,由于，，不共面，所以,存在逆矩阵，设。[2] 定理3 设点 (或向量)在仿射坐标系下的坐标为，则点 (或向量)在直角坐标系下的坐标为。 证 明 ， 故点在下的坐标为 。 定理4 设点 (或向量)在直角坐标系下的坐标为，则点 (或向量)在仿射坐标系下的坐标为。 证 明 设点 在下的坐标为，根据定理3有，两边右乘矩阵即可。 定理5 在仿射坐标系下,设向量,向量， 则。 证 明 根据定理3，在直角坐标系下的坐标分别为，。 根据定理1，=。 具体结果如下： 。 定理6 在仿射坐标系下, 设向量, 向量，则。 其中 = 。 证 明 根据定理3，在直角坐标系下的坐标分别为 ， 。 根据定理2，在直角坐标系下， 。 根据定理4，在仿射坐标系下, 。 定理7 在仿射坐标系下,平面有一法向量。 证 明 由于平面与平面平行或重合，故只需求平面的一个法向量。设在下点在下的坐标为,由定理4得，代入平面方程可得平面在直角坐标系下的方程为，展开后可得平面的一个法向量在下的坐标为，根据定理4，在仿射坐标系下, 平面有一法向量。 例 在仿射坐标系下, 证明向量平行于平面的充要条件为：。 注 这是参考文献[1]第109页的一个习题，如果在直角坐标系下这是一个很显然的真命题，为什么在仿射坐标系下如此巧合？参考文献[1]第321页给出了一个证明。这里利用本文的结论再给出一个简捷的证明。 证 明 根据定理7和定理3，平面在直角坐标系下有一法向量。根据定理3，