向量空间与子空间 3-1.docVIP

向量空間與子空間 3-1 由矩陣行向量構成的向量空間可以進一步了解該矩陣的特性及Ax = b的解 向量構成的空間 相關向量(不一定是行向量，可以為矩陣或其他函數等)組成的集合，其元素必須遵守下列規則： x + y = y + x 加法交換律 x + (y +z) = (x +y) + z 加法結合 唯一的零向量 x + 0 = x 唯一的加法負向量 x + (-x) = 0 單位純量1乘x等於x (c1 c2)x = c1(c2x) c(x + y) = cx + cy (c1 + c2)x = c1x + c2x (i) 向量相加，(ii) 純量乘任何向量。即所謂的線性組合。若向量集合中任何數個向量的線性組合結果仍在該集合內則稱此集合為向量空間。 若一組向量與實數滿足上述規則所構成的空間稱為實數向量空間 例 1 M 所有2x2的實數矩陣構成的向量空間 F 所有實數函數f(x)構成的向量空間 Z 由單一零向量構成的向量空間 Z與R0不同。(Rn為n個分量的向量的空間) 向量空間Z僅有一個向量(零向量)。任何向量空間均須包含自己的零向量 (規則3, 4) 子空間：一向量空間的部分集合內的任何兩向量相加，或純量乘任何向量的結果仍屬於該集合內，此集合成為該向量空間的子空間。即所有子空間內的向量的線性組合都留在該子空間內。 例：三維空間R3，通過原點 (0, 0, 0) 的平面，本身為一向量空間，因此通過原點的平面為三維空間中的一個子空間。 每一個子空間都必須包含零向量。(規則3, 4) 三維空間R3所有可能的子空間： (L) 任何通過原點的直線 (R3) 空間整體 (P) 任何通過原點的平面 (Z) 單一零向量 (0, 0, 0) 例： 請問向量 (x, y)其中，所構成的集合(四分之一平面)是否為一子空間。(否) 例：上題再加上分量均為負的向量所構成的兩個四分之一平面是否為一子空間。(否) 若兩向量v與w包含於一子空間，則線性組合cv + dw一定也包含於其內。 例：所有 2x2 矩陣空間M，下面兩矩陣集合是否子空間 (U) 所有上三角矩陣 (是) (D) 所有對角矩陣 (是) D也是U的子空間 I單位矩陣是否為子空間 A的行空間：由矩陣A各行產生的所有線性組合。這些組合也就是所有可能的向量Ax，它們填滿了行空間C(A) 當Ax = b，若A不是可逆，對某些b有解，其他則無解，要描述什麼樣的b有解。可由行空間C(A)來了解。 方成組Ax = b有解，若且唯若b屬於A的行空間。 對Am x n矩陣，每一行都屬於Rm，所以A的行空間為Rm的子空間而不是Rn的子空間。 例： 若 則 即 若b落在此線性組合的子空間內，則Ax = b有解。但此子空間為一平面(why?)，故b比較容易不落在此子空間，也就是方程式組無解。 例： 描述下列矩陣的行空間 I =，A =，B = I的行空間為R2 A的行空間為 (c, 2c)通過 (0, 0)的直線斜率為 。 B的三行向量可以組合成所有R2空間內的向量，而且組合方式不是唯一。所以無法限制b。但此矩陣的解有三分量，故任何Bx = b的方成組均有很多解。 習題： 已知三相異向量b1、b2及b3，造一矩陣使得方程組Ax = b1與Ax = b2有解，但Ax = b3無解。是否可能，如何建構矩陣A？ 對以下每一個向量空間V，描述任何一子空間S，然後再描述S的子空間SS。 V1 = (1, 1, 0, 0)，(1, 1, 1, 0)與(1, 1, 1, 1)所有的線性組合 V2 = 所有垂直於 u = (1, 2, 2, 1) 的線性的向量 V3 = 所有 2 x 2對稱矩陣 V4 = 方程所有的解 以兩種方式描述V：「……的所有線性組合」以及「方程組 ……所有的解」來說明 (a) 描述M裡一個包含A =但不包含B =的子空間 (b) 假如M的子空間同時包含A與B，它是否一定要包含I？ (c) 描述M裡一個不包含非零對角線的子空間 下面2方程組右邊b1, b2, b3應該滿足何種條件才有解 (a) (b) 3.2 A 所有使得Ax = 0的解的集合子空間，所討論的A可以是任何長方形 Am x n的零空間是由Ax = 0的所有的解構成。記做N(A)，N(A)為Rn的子空間(why?) (Am x n的行空間C(A)則是Rm的子空間) Ax = b方程組中，若b不等於0且有解，則其解不會構成子空間，因為沒有0的元素。 例：方程x + 2y + 3z = 0，其係數矩陣為 [1 2 3]。這方程為通過原點的一平面，其上所有的向量均滿足方程式，所以是A的零空間，也是R3的子空間。注意x + 2y + 3z = 6也形成一平面但不是子空間。 例：描述