【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1 第2课时 参数方程和普通方程的互化教案 新人教A版选修4-4.docVIP

第2课时　参数方程和普通方程的互化 课标解读 1.了解参数方程化为普通方程的意义． 2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用． 3．掌握参数方程化为普通方程的方法. 　参数方程与普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致． 　普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？ 【提示】　不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同. 参数方程化为普通方程 　在方程(a，b为正常数)中， (1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？ 【思路探究】　(1)运用加减消元法，消t；(2)当t＝0时，方程表示一个点，当t为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状． 【自主解答】　方程(a，b是正常数)， (1)①×sin θ－×cos θ得 xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0. cos θ、sin θ不同时为零， 方程表示一条直线． (2)()当t为非零常数时， 原方程组为 2＋2得＋＝1， 即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆． ()当t＝0时，表示点(a，b)． 1．消去参数的常用方法 将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，()2＋()2＝1等． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线． 　将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状： (1)(θ为参数，0≤θ≤π)； (2)(θ为参数)； (3)(a，b为大于零的常数，t为参数)． 【解】　(1)将两式平方相加，得x2＋y2＝4. 0≤θ≤π，－2≤x≤2,0≤y≤2. 所以方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分． (2)由得 即 x－y＝0. 0≤sin22θ≤1， ≤1－sin22θ≤1. 所以方程x－y＝0(≤x≤1)表示一条线段． (3)x＝(t＋)， t0时，x[a，＋∞)，t0时，x(－∞，－a]． 由x＝(t＋)， 两边平方可得x2＝(t2＋2＋) 由y＝(t－)两边平方可得 y2＝(t2－2＋) ①×－×并化简，得－＝1(a，b为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线． 普通方程化为参数方程 　曲线的普通方程为＋＝1，写出它的参数方程． 【思路探究】　联想sin2θ＋cos2θ＝1可得参数方程． 【自主解答】　设＝cos θ，＝sin θ， 则(θ为参数)，即为所求的参数方程． 1．将圆的普通方程化为参数方程 (1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为 (θ为参数)； (2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)． 2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x＝f(t)，再计算y＝g(t))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝g(t)，调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致． 　设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________． 【解析】　把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝，y＝， 参数方程为(t为参数)． 【答案】　(t为参数) 利用参数思想解题 　已知x、y满足x2＋(y－1)2＝1，求： (1)3x＋4y的最大值和最小值； (2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值． 【思路探究】　设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决． 【自主解答】　由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为(θ[0,2π))． (1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4 ＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝，且φ的终边过点(4,3)． －5≤5sin(θ＋φ)≤5， －1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， 3x＋4y的最大值为9，最小值为－1. (2)(x－3)2＋(y＋3)2 ＝(cos