【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.7.3 球的表面积和体积课时训练 北师大版必修2.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.7.3 球的表面积和体积课时训练 北师大版必修2 一、选择题 1．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大(　　) A．2倍　　　　　　　 B.倍 C．2倍 D．3倍 【解析】　半径扩大倍， 从而体积扩大()2＝2倍． 【答案】　C 2．(2013·杭州高一检测)正方体的表面积与其外接球表面积的比为(　　) A．3π B．2π C．12π D．13π 【解析】　设正方体棱长为1，则正方体表面积为6.则其外接球半径为，其表面积为4π·()2即3π.所以表面积之比为2π. 【答案】　B 3．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是(　　) A．25π B．50π C．125π D．都不对 【解析】　设球的半径为R.则 2R＝＝5. S表＝4πR2＝π(2R)2＝π(5)2＝50π. 【答案】　B 4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　) A．R B．2R C．3R D．4R 【解析】　设圆柱的高为h，则πR3×3＝πR2·h， h＝4R. 【答案】　D 5．(2013·宁夏高一检测)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B．πa2 C.πa2 D．5πa2 【解析】　正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得 R＝＝a， S＝4πR2＝4π×＝a2. 【答案】　B 二、填空题 6．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________． 【解析】　V＝πR3＝4π， R＝， S球面＝4πR2＝12π. 【答案】　12π 7．图1－7－16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是__________． 图1－7－16 【解析】　该几何体为一个半径为1的球与底面半径为1，高为3的圆柱组成的组合体． S表＝4π×12＋2×π×12＋2π×1×3＝12π. 【答案】　12π 8．(2013·武汉高一检测)圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1－7－17所示)，则球的半径是________cm. 图1－7－17 【解析】　设球的半径为r cm， 则有8πr2＋3×πr3＝πr2×6r，由此解得r＝4. 【答案】　4 三、解答题 9．一个球的外切圆台上、下底面半径分别为r、R，求球的体积和表面积． 【解】　如图，圆台及内切球的轴截面ABCD，O1、O2、O分别为上、下底面圆心及球心，设球的半径为x， 则O1O2＝2x， 过C作CEAB于E，则CE＝2x， BE＝R－r， BC＝R＋r， 在RtCBE中，CB2＝BE2＋CE2， 即(R＋r)2＝(R－r)2＋(2x)2. x2＝Rr， x＝. V球＝πx3＝πRr，S球＝4πx2＝4πRr. 10．如图1－7－18，一个长、宽、高分别是80 cm、60 cm、55 cm的水槽中有水200 000 cm3.现放入一个直径为50 cm的木球，如果木球的2/3在水中，1/3在水上，那么水是否会从水槽中流出？ 图1－7－18 【解】　水槽的容积V＝80×60×55＝264 000(cm3)， 木球的体积V木＝π×253≈65 417(cm3)． 200 000＋65 417×≈243 611＜V， 水不会从水槽中流出． 11．如图1－7－19，半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且半圆O分别切AB，BC，CD于点A、E、D.将半圆与梯形绕AD所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比为34，求圆台的体积． 图1－7－19 【解】　设圆台的上、下底的半径分别为r1、r2，母线长为l. 由题意知，圆台的高h＝2R，DC＝CE＝r1，AB＝BE＝r2，OE＝R，BOC＝90°.OEBC. ∵在RtCOB中， CE·BE＝OE2，BC＝CE＋BE， r1r2＝R2，l＝r1＋r2. 又S球＝4πR2，S圆台侧＝π(r1＋r2)l 且S球S圆台侧＝34， 4πR2∶πl(r1＋r2)＝34. ∴(r1＋r2)2＝R2， V台＝πh(r＋r＋r1r2)＝×2R[(r1＋r2)2－r1r2]＝×2R×(R2－R2)＝πR3. 故圆台的体积为πR3.