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【与名师对话】2015高考数学课时作业20 文(含解析)北师大版
课时作业(二十)
一、选择题
1.(2013年潍坊期末)函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值是( )
A.1+ B.1 C.e+1 D.e-1
解析:因为f(x)=ex-x,所以f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.且当x0时,f′(x)=ex-10,x0时,f′(x)=ex-10,即函数在x=0处取得极小值,f(0)=1,又f(-1)=+1,f(1)=e-1,综合比较得函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是e-1.故选D.
答案:D
2.函数f(x)=ex(sin x+cos x)在区间上的值域为( )
解析:f′(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=excos x,
当0≤x≤时,f′(x)≥0,且只有在x=时,f′(x)=0,
f(x)是上的增函数,
f(x)的最大值为f=,f(x)的最小值为f(0)=.
f(x)在上的值域为.故应选A.
答案:A
3.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有最小值,则实数b的取值范围是( )
A.(0,1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.
解析:f(x)在(0,1)内有最小值,即f(x)在(0,1)内有极小值,f ′(x)=3x2-6b,
由题意,函数f ′(x)的草图如图,
即
解得0b.故选D.
答案:D
4.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调增函数,则m的取值范围是( )
A.m-2 B.m≥-2
C.m2 D.m≤2
解析:依题意知,x0,f′(x)=,
令g(x)=2x2+mx+1,x(0,+∞),
当-≤0时,g(0)=10恒成立,m≥0成立,
当-0时,则Δ=m2-8≤0,-2≤m0,
综上,m的取值范围是m≥-2.
答案:B
5.已知f(x)=x2-cos x,x[-1,1],则导函数f ′(x)是( )
A.仅有最小值的奇函数
B.既有最大值,又有最小值的偶函数
C.仅有最大值的偶函数
D.既有最大值,又有最小值的奇函数
解析:f ′(x)=x+sin x,显然f ′(x)是奇函数,令h(x)=f ′(x),则h(x)=x+sin x,求导得h′(x)=1+cos x.当x[-1,1]时,h′(x)0,所以h(x)在[-1,1]上单调递增,有最大值和最小值.所以f ′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数.
答案:D
6.(2011年湖南)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( )
A.1 B.
C. D.
解析:|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-ln x的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故t=.
答案:D
二、填空题
7.面积为S的一矩形中,其周长最小时的边长是________.
解析:设矩形的一边边长为x,则另一边边长为,
其周长为l=2x+,x0,l′=2-.
令l′=0,解得x=.
易知,当x=时,其周长最小.
答案:
8.(2012年广州模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(xR),若对于任意x[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________.
解析:若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;
当x0,即x(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.
设g(x)=-,则g′(x)=,
所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,
因此g(x)max=g=4,从而a≥4.
当x0,即x[-1,0)时,同理a≤-.
g(x)在区间[-1,0)上单调递增,
g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上可知a=4.
答案:4
9.函数f(x)=x2-2ln x的最小值为________.
解析:由f′(x)=2x-=0,得x2=1.又x0,所以x=1.因为0x1时,f′(x)0,x1时f′(x)0,所以当x=1时,f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)=1.
答案:1
三、解答题
10.设函数f(x)=x2+ex-xex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若当x[-2,2]时,不等式f(x)m恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),
因为f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex),
当x0或x0时,f′(x)0,则f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.
(2)由(1)知,f(x)在[-2,2]上单调递减,
f(2)=2-e2,
所以x[-2,2]时,f(x)min=2-e2,
故m2-e2时
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