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【与名师对话】2015高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性课时作业 理(含解析)新人教A版
【与名师对话】2015高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性课时作业 理(含解析)新人教A版
一、选择题
1.(2013·茂名一模)已知f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=log2x,则f=( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
解析:当x0时,-x0,f(-x)=log2(-x),f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)
f(-x)=-f(x)=log2(-x),
当x0时,f(x)=-log2(-x),
f=-log2=1.
答案:B
2.(2013·北京西城区期末)已知函数f(x)=x+bcos x,其中b为常数.那么“b=0”是“f(x)为奇函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:若b=0,则f(x)=x为奇函数,反之,若f(x)为奇函数,f(-x)=-x+bcos(-x)=-x+bcos x=-f(x)=-x-bcos x,b=0,故“b=0”是“f(x)为奇函数”的充要条件.
答案:C
3.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
解析:将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.
答案:C
4.(2012·福建卷)设函数D(x)=则下列结论错误的是( )
A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数
C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数
解析:A显然正确.
D(x)=当xQ时,-xQ,而D(x)=D(-x)=1;当x为无理数时,-x也为无理数,此时D(x)=D(-x)=0,对任意的xR,D(x)=D(-x),B正确.不妨设aQ且a≠0,当x为有理数时,D(x+a)=D(x)=1,当x为无理数时,D(x+a)=D(x)=0,D(x)为周期函数,C不正确.x1=1,D(1)=1,x2=2,D(2)=1,
D(x1)=D(x2),D(x)在定义域上不单调.故D正确.
答案:C
5.(2013·河南开封第一次模拟)已知f(x)是奇函数,且f(2-x)=f(x),当x(2,3)时, f(x)=log2(x-1),则当x(1,2)时, f(x)=( )
A.-log2(4-x) B.log2(4-x)
C.-log2(3-x) D.log2(3-x)
解析:依题意得f(x+2)=f(-x)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x).当x(1,2)时,x-4(-3,-2),-(x-4)(2,3),故f(x)=f(x-4)=-f(4-x)=-log2(4-x-1)=-log2(3-x),选C.
答案:C
6.(2013·云南昆明调研)已知函数f(x)=,若f(a-2)+f(a)0,则实数a的取值范围是( )
A.a-1-或a-1+ B.a1
C.a3-或a3+ D.a1
解析:法一:当x0时,-x0, f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x=-(-x2-4x)=-f(x);
当x0时,-x0, f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-(x2-4x)=-f(x);又f(0)=0,因此对任意xR,都有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
又当x≥0时,函数f(x)是减函数,于是有f(x)在R上是减函数,不等式f(a-2)+f(a)0,即f(a-2)-f(a)=f(-a),a-2-a,a1,即实数a的取值范围是a1.
法二:
由图象可知,f(x)为奇函数,且为减函数,即f(a-2)f(-a),a-2-a,a1,选D.
答案:D
二、填空题
7.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.
解析:f(x)为偶函数,对x∈R, f(-x)=f(x),
a=0.
答案:0
8.(2013·湖北武汉调研)设函数f(x)=,若函数f(x)是奇函数,则g(-4)=________.
解析:依题意,x0,g(x)=-,g(-4)=-=-2,故填-2.
答案:-2
9.(2013·淄博检测)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质:直线x=1是函数f(x)的一条对称轴;f(x+2)=-f(x);当1≤x1x2≤3时,(f(x2)-f(x1))·(x2-x1)0,则f(2 011)、f(2 012)、f(2 013)从大到小的顺序为________.
解析:f(x+2)=-f(x)得:T=4,又x=1为对称轴,且1≤x
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