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加强数学教学的认知分析，提高数学教学水平 唐先云 摘要：不同的数学教师对数学教学的本质有不同的认识，也体现出不同的教学设计思想。传统观点认为教学就是教师教，学生学的活动，教学设计应关注教师的教学操作的学生的学习结果。本文认为数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。强调数学活动是学生自己建构数学知识的活动，其教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，教学设计也应呈现出一种追求“过程型”、“探究体验型”的模式。同时，论述了数学教学的认知分析在数学教学实践中的重要性，并简要分析了数学教学的认知分析对提高数学教学水平所起的作用。 关键词：认知分析、认知水平、认知结构、建构主义、过程教学 数学教学的认知水平，是指从认知的角度对数学教学的目标设计及教学实践过程、学生的学习结果等进行分析。在教学中，重视发挥知识形成的过程的价值，鼓励学生自主探索，让学生亲身经历数学学习的探究活动过程，体会到知识的产生过程，让学生“再发现”地学习数学。在数学学习的过程中感受到数学发现的乐趣，充分发挥学生的“学习主人”的地位，精心创设问题情境--------这样的问题情必须符合学生的认知水平和知识结构，切实让学生探索、经历数学发现的过程，促进学生把新知识、新方法纳入自己已有的认知结构，用“建构主义”的教学方式，促进学生“有意义学习”。 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的经验基础之上。因此，教学中必须关注学生在活动中表现出来的情感与态度，及时地帮助学生认识自我、建立信心。积极创设一个有利于学生活泼、自主发展的教育环境，提供给学生发展的时间与空间性，把重视结果教学变为过程教学。 数学教学不管采用何种教学方式，都是在不断提出问题、解决的过程中展开的。事实上，创新源于问题，没有问题就不可能创新。问题是创新的基础和源泉，教学过程是不断提出问题、解决问题的过程，也是学生进行创新的过程。因此，教师在教学设计中要有培养学生提出问题的意识。一方面，留给学生自由支配的“空白时间带”，留给学生创设提出问题的时空，在此期间，引导学生进行各种活动，在活动中自主探索、合作交流、积极思考和操作实验，对数学进行再创造。另一方面，要鼓励学生用批判的眼光去观察问题，反对人云亦云，敢于向权威挑战，对教材写的、老师说的、名人提的问题敢于质疑。同时，教给学生提出问题的方法，如归纳推测、类比联想、改变属性、逆向思考、数学实验、追溯过程等，让学生在数学情境中、问题解决中发现新问题，提出新见地，调动他们的积极性，培养他们的问题意识和创新的精神。 从数学教学的一般过程和影响数学活动的诸因素来看，我认为可以从教学目标、学生已有的认知结构、当前的教学任务、教学过程以及教学结果等方面进行认知分析。加强认知分析对于提高数学教学水平和质量具有重要意义。 对教学过程的认知分析 教学过程的预设必须细致到每一步的教与学。这就要求我们对学生的认知活动作出教法下的预设性细微分析，即我们所指的对教学过程微观的认知分析。这种分析的深度要能直接导致课堂教学策略的确定。 例一 证明恒等式：12/（1×3）+22/（3×5）+…+n2/(2n-1)(2n+1)=(n2+n)/2(2n+1) (n∈ N) 学生认知分析： 此题学生通常看法是：因问题与自然数有关，故考虑用数学归纳法（通法），但这不要说其中要用到配凑的技巧，就是书写也要分两步，即使不难，写也够繁。要学生认识到这一点，显然是不够的，或者只能说是一种低水平认知。我们应该有更高的目标。 为此我们设计如下过程： 观察恒等式左边：12/(1×3)+22/(3×5)+…+n2/(2n-1)(2n+1) 问题1：左边是哪个数列的前n项和？ （学生思考回答：是数列an=n2/(2n-1)(2n+1) 问题2：恒等式右边是和的结果吗？ （学生思考回答：是Sn=(n2+n)/2(2n+1) 问题3：数列{an}的第n项与前n项和Sn,前n+1项和Sn+1有什么关系？ （学生思考回答：an+1= Sn+1-Sn） 由an+1= Sn+1-Sn可得an=n2/(2n-1)(2n+1)从而原式得证。 此题的求解，观察很重要，观察就是“看”，任何方法和技巧的活用都是基于这“看”的功底的深浅。“看”在数学中表现为对各种图形、数量关系与空间形式的观察。良好的观察能力是活用数学知识、巧解数学问题的关键。我们要引导学生善于从大处着眼看题型----抓住共性，用好思想方法，从小处着眼看特征----抓住个性，用好技巧技能。 例二 已知 a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证： （1+1/a）(1+1/b)(1+1/c)≥64 学生认知分析： 学生通常会按常规法作差比较、作商比较，或对每个括号内使用重要不等