数学竞赛—梅涅劳斯定理精选例题(一).docVIP

【第一课时】 精选例题 例题1 在△ABC 中，AG是角平分线，D是BC中点，DG⊥AG交AB于E，交AC延长线与F，求证：BE=CF=． 例题2 △ABC中，∠A的外角平分线交BC延长线于点D，∠B、∠C的平分线交对边于E、F，求证：D、E、F三点共线． 例题3 梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点E，BC、AD的延长线交于点F,EF分别交AB、CD于N、M,求证：AN=NB． 例题4过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于点E、F，交CB 于点D。求证：． 例题5 已知点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，且 ，又AD、BE、CF交成△LMN， 求的值． 例题6 证明：笛沙格（Desargues）定理：直线AA1、BB1、CC1相交于O点，直线AB与A1B1交于X，BC与B1C1交于Y，AC与A1C1交于Z，那么X、Y、Z三点共线． 例题7 证明：莱莫恩（Lemoine）定理：过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB所在直线交于P、Q、R，则P、Q、R三点共线．直线PQR称为△ABC??莱莫恩线． 例题8 如图，⊙O1、⊙O2和⊙O3两两的外公切线分别交于P、Q、R三点，R 求证：P、Q、R三点共线． 课后练习 1．△ABC的两边AB、AC上分别取点Q、R,满足AQ:QB=2:1,AR:RC=1:2,连接QR交CB延长线于P，那么PC : PB=_______． 2．ABCD为平行四边形，BC=12,DC=10,对角线AC与BD交于O,E是BC延长线上一点，且CE=4,OE交DC于F，那么CF=_______． 3．在△ABC中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD : DC=m : 1，CE : EA=n : 1，AD与BE交于F，则△ABF与△ABC的面积之比为_______． 4．已知：AJ、BK、CL是△ABC的三个外角平分线，J、K、L是这些线与△ABC三边所在直线的交点，求证：J、K、L三点共线． 5．△ABC三边BC、AB、CA的中点分别是D、E、F，设AD与EF交于P，连接CP交AB于Q，求证：AB=3AQ． 6．用梅涅劳斯定理证明：赛瓦（Ceva）定理：在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则． 7．用梅涅劳斯定理证明：西姆松（Simson）定理：若从△ABC的外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．（此线常称为西姆松线） 8．用梅涅劳斯定理证明：帕斯卡（Pascal）定理：圆内接六边形ABCDEF的三双对边的延长线交于三点P、Q、R，则这三点共线．（此线称为帕斯卡线）