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PAGE  PAGE 21 【代数十讲】 不等式例讲（B） 答案及讲稿 陶平生 基本内容与方法：柯西不等式，平均不等式，排序不等式；变形配凑法，数形结合法，三角代换法，局部放缩法，化归法，归纳法，调整法． 、设正实数满足：， 求的最小值． （，国家集训队测验题） 解：将条件式写作：，又由 ，得，取等号当且仅当， 于是， ． 、设，满足，求证：． （，国家集训队测验题） 证：据，以及柯西不等式， ，于是 ． 、在锐角三角形中，证明： ． （年中国国家集训队测试题） 我们先证明三角形的以下恒等式：中， … ① 证：取余切代换，令，则，且，， … ②， 则 ， 同理有，； 因此． 由于为锐角三角形，则，所以 ． 、对于每个正整数，证明：． 证：令，则，而，以下考虑的情况； 注意 …　①， 由于，所以 …　②， 当时，由于， 所以 …　③， 由此，…　④， 又因， 为证，只要证， …　⑤，即要证，， 只须证 ，即，也即，此为显然．因此所证结论成立． 证二：注意到时，， 则． 、设，，且， 求的最大值． 解：暂时固定，有为定值，需使卷积 取最大， 由于为降序，而为升序， 故由排序不等式，仅当时，卷积取得最大值， 此时， ， 于是 ， 欲使上式取等号，当且仅当 ，这时 ．显然有， 即合于条件，因此的最大值为． 、设为正整数，对于，证明幂平均公式： ． 证：设，注意当时，由平均不等式可得 ，分别取， 并将这个不等式相加得 ， 所以，即有． 、设，满足：，证明： ． 试将其推广到个元的情况． 证：由条件得，，由平均不等式， ，即，其余诸式情况类似； 记，，则； 由于，同理有， 四式相加得 …　①； 又由幂平均不等式，，即， 只要证， …　②， 即，此为显然．（因）， 于是所证结论成立． 本题的一般形式为：设，满足：，则有 ．证明如下： 由于，其余诸式可类似得到；记 ， 则， 所以，即； 另一方面，由幂平均不等式， 即； 只要证，即，而这由 立即得到． 、设，证明： 证：注意左边的每一加项皆为个分式之积，于是将右边的加项也表成此形式，即有 今对以上个等式右端分别使用平均不等式，得到 将诸式相加，立得所证不等式成立． 、设； 证明：． 证：记，则是的一个线性函数，为证在区间上非负，只要证在区间两端点的值非负即可；当，； 当，所证式化为，，由于 相加得，． 、设是互异实数，记 ，， 证明：． 证：不妨设，，则， ，又设， 则当时，，而当时，． 当时，有 ，（这是由于，，而，故） 因此， …　① 当时，有 ， （这是由于，，而，所以，） 因此， … ② 据①②可知，对一切，均有 … ③ 记，则③化为，， 因此 ． 、设为非负实数，满足，证明： ． （江西省预赛） 证明：为使所证式有意义，三数中至多有一个为；据对称性，不妨设，则； 、当时，条件式成为，，，而 ， 只要证，，即， 也即，此为显然；取等号当且仅当． 、再证，对所有满足的非负实数，皆有 ．显然，三数中至多有一个为，据对称性， 仍设，则，令，为锐角．今以为内角，构作，则 ，于是，且由知，；于是 ，即是一个非钝角三角形． 下面采用调整法，对于任一个以为最大角的非钝角三角形，固定最大角，将调整为以为顶角的等腰，其中，且设 ，记，据知， ． 今证明，．即 … ①． 即要证 … ② 先证 … ③，即证 ， 即 ，此即 ，也即 ，即 ，此为显然． 由于在中，，则；而在中， ，因此②式成为 … ④， 只要证， … ⑤，即证 ，注意③式以及 ，只要证，即，也即 … ⑥ 由于三角形的最大角满足：，而，则，所以，故⑥成立，因此⑤得证． 、在非钝角三角形中，证明不等式： ． （国家队集训试题） 证：令 则 ① ， 且 而 同理有 ， ， 代入所证式 ，即要证 ② 据对称性，不妨设 ，此时 ⅰ）首先证，当 时 ②式成立． 此时 ， 条件①成为， ③ 待证的结论②式成为 ④ 此式等价于 即 ⑤ 由③， ， ，故⑤成为 ， 即 ， 也即 此为显然 。（因为据③有 ），故④得证，取等号当且仅当 ，或 ，即为等腰直角三角形或正三角形。 ⅱ） 再考虑一般非钝角三角形，固定最大角，将⊿调整为以最大角为顶角的等腰三角形，其中 ， 并设 记 ，据ⅰ）知， 今证明 ， 我们采用如下证题框架： 欲证  eq \o\ac(○,*) 只要证 因为当以上两式同时成立时，可将平方后减去式的两倍便得 eq \o\ac(○,*)式． 、为证 ……  eq \o\ac(○,A) 即证  eq \o\ac(○,6) 其中， ． 先证 ，即证