四面体性质初探.docVIP

四面体的性质探究 如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体。 一．四面体性质 A B D C O S1 S2 S3 S4 1．四面体的射影定理：如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为O，△ABC的面积为S1，△ADC的面积为S2，△BCD的面积为S3，△ABD的面积为S4，二面角A-BC-D为θ1-3，二面角A-DC-B为θ2-3，二面角A-BD-C为θ3-4，二面角C-AB-D为θ1-4，二面角C-AD-B为θ2-4，二面角B-AC-D为θ1-2，则 S1 = S2cosθ1-2 + S3cosθ1-3 + S4cosθ1-4 S2 = S1cosθ1-2 + S3cosθ2-3 + S4cosθ2-4 S3 = S1cosθ1-3 + S2cosθ2-3 + S4cosθ3-4 S4 = S1cosθ1-4 + S2cosθ2-4 + S3cosθ3-4 2．性质2(类似余弦定理) S12 = S22 + S32 +S42 - 2S2S3 cosθ2-3 - 2S2S4 cosθ2-4 - 2S3S4 cosθ3-4 S22 = S12 + S32 +S42 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S3S4 cosθ3-4 S32 = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4 S42 = S12 + S22 +S32 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S2S3 cosθ2-3 特别地，当cosθ1-2 = cosθ1-4 = cosθ2-4 = 0，即二面角C-AB-D、 C-AD-B??B-AC-D均为直二面角（也就是AB、AC、BC两两垂直）时，有S32 = S12 + S22 +S42， 证明：S32 = S3S1cosθ1-3 + S3S2cosθ2-3 + S3S4cosθ3-4 ??????? = S1 S3cosθ1-3 + S2 S3cosθ2-3 + S3 S4cosθ3-4 ??????? = S1（S1 - S2cosθ1-2 + S4cosθ1-4）+S2（S2 - S1cosθ1-2 + S4cosθ2-4）+ ??????????? S4（S4 - S1cosθ1-4 + S2cosθ2-4） ??????? = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4 二．正四面体的性质 设正四面体的棱长为，则这个正四面体的 (1)全面积????? S全= ； (2)体积? ??????V=； (3)对棱中点连线段的长??? d= ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角??? = (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为= (7)外接球半径????? R= ； (8)内切球半径??? r= . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 三．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 直角四面体有下列性质： A B C D O H 如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=,OB=,OC=.则 ①不含直角的底面ABC是锐角三角形； ②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心； ③体积??? V= ； ④底面面积S△ABC=； ⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC； ⑥S2△BOC+S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC ⑦ ; ⑧外接球半径??? R= ； ⑨内切球半径? r= 三．应用 由课本新教材第二册下(A)53页第8题可知，正方体截去四个三棱锥后,得到一个正四面体。 若设正方体的棱长为,正四面体的棱长为′，正方体及正四面体的外接球半径分别为R、R′,正方体的内切球及正四面体的棱切球半径分别为r、r,易知有如下结论： 性质①正四面体内接于一正方体，且a′= 性质②V正四面体=V正方体=a3 性质③R=R =a 性质④r=r= (证明略) 利用上述结论可迅速解决如下各题: 例1.正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果 E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等( ) (90年全国高考试题) (A) 90° （B）60° （C）45° （D）30° 分析：本题若仔细观察已知条件，易知S-ABC为正四面体。而一正四面体必可补成正方体（如