2009年IMO中国国家集训队选拔考试.pdfVIP

2009年第 7期 25 2009年 IMO中国国家队选拔考试 n 第 一 天 求 M = max ai, j的最小值. 1≤i≤m j = 1 1. 设 D 是 △ABC 的边 B C 上一点 , 满 (付云皓 　供题 ) 足 CAD = CBA. O 经过点 B、D,并分 6. 求证 :在 40个不同的正整数所组成 别与线段 AB、AD 交于点 E、F, B F、D E 交 的等差数列中 , 至少有一项不能表示成 k l 于点 G, M 是 AG的中点. 求证 : CM AO. 2 + 3 ( k、l N)的形式. (熊 　斌 　供题 ) (陈永高 　供题 ) 2. 给定整数 n ( n ≥2). 求具有下述性 参 考 答 案 质的最大常数 ( ) 若实数序列 n : a0 , a1 , 第 一 天 ?, an 满足 0 = a0 ≤a1 ≤?≤an 及 1 　　1. 如图 1,联结 EF并延长交 B C 于点 a ≥ (a + a ) ( i =1, 2, ?, n - 1) , i 2 i + 1 i - 1 P,联结 GP交 AD 于点 K, 并交 AC 的延长 n n 线于点 2 2 L. 则 ( iai ) ≥ ( n) ai . i = 1 i = 1 (朱华伟 　供题 ) 3. 求证 : 对于任意的奇质数 p, 满足 2 p | ( n! + 1)的正整数 n的个数不超过 cp3 , 这里 , c是一个与 p无关的常数. (余红兵 　供题 ) 第 二 天 4. 设正实数 a、b满足 b - a 2. 求证 : 图 1 对区间 [ a, b)中任意两个不同的整数 m、 如图 2,在 A P上取一点 Q,满足 n,总存在一个由区间 [ ab, ( a + 1) ( b + 1) ) PQ F = A EF = ADB. 中某些整数组成的 (非空 ) 集合 S, 使得 x x S ??一个有理数的平方. m n (余红兵 　供题 ) 5. 设 m 是大于 1的整数 , n是一个奇 数且 3≤n 2m. 数 ai, j ( i、j N, 1≤i≤m , 1≤j≤n)满足 (1)对于任意的