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数论问题 定理5 互素的简单性质： （1）．（2）．（3）． 定理9（同余的性质）设为整数， 若且，则且． （3）若，则对任意的正整数有且. （4）若，且对非零整数有，则． 定义7 设为正整数，为大于2的正整数, 是小于的非负整数，且．若 ，则称数为的进制表示． 定理13 若正整数的素数分解式为 则的正约数的个数为， 的一切正约数之和为 ． 定义8 （高斯函数）对任意实数，是不超过的最大整数．亦称为的整数部分，． 定理14 在正整数的素因子分解式中，素数作为因子出现的次数是 ． 定理15 （费玛小定理）如果素数不能整除整数，则． 证明2 改证等价命题：如果素数不能整除整数，则． 只需对证明成立，用数学归纳法． （1），命题显然成立． （2）假设命题对成立，则当时，由于，故有 ．（用了归纳假设） 这表明，命题对是成立． 由数学归纳法得． 又素数不能整除整数，有，得． 定义9 （欧拉函数）用表示不大于且与互素的正整数个数． 定理16 设正整数，则 ． 推论 对素数有． （12）． （13）任何整数都可以表示为． 三、平方数 若是整数，则就叫做的完全平方数，简称平方数． 1．平方数的简单性质 （1）平方数的个位数只有6个：． （2）平方数的末两位数只有22个：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89． （3）．（４）． （6）凡是不能被3整除的数，平方后被3除余1．（7）在两个相邻整数的平方数之间，不能再有平方数． （8）非零平方数的约数有奇数个． （9）直角三角形的三边均为整数时，我们把满足的整数叫做勾股数．勾股数的公式为 其中为正整数，且一奇一偶．这个公式可给出全部素勾股数． 2．平方数的证明方法 （1）反证法．（2）恒等变形法．（3）分解法．设为平方数，且，，则均为平方数． （4）约数法．证明该数有奇数个约数． 3．非平方数的判别方法 （1）若，则不是平方数．（2）约数有偶数个的数不是平方数． （3）个位数为2，3，7，8的数不是平方数．（4）同余法：满足下式的数都不是平方数． ， ， ， ，． （5）末两位数不是：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．如 个位数与十位数都是都是奇数的数， 个位数是6、而十位数是偶数的数． 例14 已知直角三角形的两条直角边分别为正整数，斜边为正整数，若为素数，求证为平方数．证明 由勾股定理，有 ， 但为素数，必有 解得 ， 从而 ，为平方数． 例15 求证，任意3个连续正整数的积不是平方数． 证明 设存在3个连续正整数（）的积为平方数，即存在整数，使 ，即 ， 但，故均为平方数，有 得 ，（注意） 这一矛盾说明，3个连续正整数的积不是平方数． 四．整除 整除的判别方法主要有7大类． 1．定义法．证，有三种方式． （1）假设，然后证明．（定理4）（2）具体找出，满足．（3）论证的存在． 2．数的整除判别法． （1）任何整数都能被1整除．（2）如果一个整数的末位能被2或５整除，那么这个数就能被2或５整除． （3）如果一个整数的末两位能被４或25整除，那么这个数就能被4或25整除． （4）如果一个整数的末三位能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除． （5）如果一个整数各数位上的数字之和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除． （6）如果一个整数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数的差能被7或11或13整除，那么这个数就能被7或11或13整除． （7）如果一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除． 例19 试证． 证明 改证．设，则 得．又 得． 但，得，即． 例20 设与为正整数，满足 ，求证可被1979整除（1979） 证明 得1979整除，但1979为素数，，得可被1979整除． 4． 余数分类法． 例21 试证． 证明1 任何整数被3除其余数分为3类 ， （1）时，有 有．（2）时，有 有．（3） 有．综上得，． 证明2 ，得 ，又，得． 5．数学归纳法．6．反证法．7．构造法． 例22 个连续整数中必有一个能被整除． 证明 设个连续整数为， 若这个数被除没有一个余数为0，则这个数的余数只能取，共种情况，必存在两个数 ，使