高中数学奥林匹克竞赛训练题[30].docVIP

数学奥林匹克高中训练题（30） 第一试 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．(训练题37)是由个组成的位数，是由个组成的位数，则的各位数字之和为(C)． (A) (B) (C) (D) 2．(训练题37)已知，则方程的所有根的和为(C)． (A) (B) (C) (D) 3．(训练题37)已知三个正数、、之和为10，如果它们之中没有一个大于其余数的倍，那么的最小值是(B)． (A) (B) (C) (D) 4．(训练题37)已知，为正整数，则的个位数字为(B)． (A) (B) (C) (D) 5．(训练题37)已知中，成等差数列，则的取值范围是(B)． (A) (B) (C) (D) 6．(训练题37)一只小球放入一长方形容器内，且与共点的三个面相接触，小球上有一点到这三个面的距离分别是，，，则这只小球的半径(D)． (A)只为 (B)只为 (C)只为 (D)以上说法不对 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．(训练题37)已知，则正整数的最大值为 55 ． 2．(训练题37)已知是正的内切圆，与外切且与的两边相切，…，与外切且与两边相切．那么，在内所有这些可能的圆（包括，）的面积之和与的面积之比为 ． 3．(训练题37)是边长为的正所在平面上的一动点，且，则动点 的轨迹为 以正的中心为圆心，2为半径的圆 ． 4．(训练题37)已知方程有组正整数解．那么的最大值是 304 ． 5．(训练题37)已知正四面体的六条棱的长分别为，，，，，。则的最小值为 8 ． 6．(训练题37)已知对于每一个实数和，函数满足．若，则满足的正整数对共有 16 个． 三、(训练题37)(本题满分20分)已知不等式组的整数解恰好有两个，求的取值范围？（） 四、(训练题37)(本题满分20分)当为何实数时，有最小值，最大值是多少？ 五、(训练题37)(本题满分20分)已知函数在上有定义，且满足下列条件：①在严格递减，且；②在上恒有． 求函数值；（2） 给出一个满足提设条件的函数． 第二试 A B D C 一、(训练题37)(本题满分50分)已知如图，是锐角的角平分线，，，且．求证． 二、(训练题37)(本题满分50分)求的末四位数．（4688） 三、(训练题37)(本题满分50分)已知是正整数，是正奇数，是正常数，且，函数．若实数满足 求证：．