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数列的通项公式求解技巧 艾尼·吾司塔， 木沙江·吐尔逊 （阿图什市第一中学, 阿图什 845350) 摘要：数列是高中数学的重要部分，尤其是现实生活中的应用很广.这文章为了学生针对高考数学数列题，总结了数列的通项公式求解问题的方法. 关键词：数列，通项公式，递推公式. 1. 引言 在古代人类随着自然数、分数的概念和四则运算的产生，为了生产与生活的需要，就产生了数列的知识.在世界数学史上，对数列的讨论具有悠久的历史，中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等，都曾经研究过数，中国古代数学名著《周髀算经》 《九章算术》《孔子算经》 《张邱建算经》等，对等差数a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+…＋〔a＋(n－1)b〕和等比a＋aq＋aq2＋aq3＋…＋aqn－1 都列举出计算的例子，说明中国古代对数的研究曾作出过一定的贡献 2.数列的通项公式求解技巧 历年的高考中出现了给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式）求通项公式的问题.对于这类问题学生感到困难较大.本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法和技巧，以供参考. 1、累加法 数列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+……+f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an. 例1.在数列{an}中，a1=－an+1= an+2n，求an（n≥2）. 解：由条件，a2=a1+2×1,a3=a2+2×2……，an= an－1+2(n－1)，以上n－1个式子相加化简得：an=a1+n(n－1)=n2－n－1. 练习1.数列满足,,求数列的通项. 2、累乘法 数列有形如an=f(n)·an－1的解析关系，而f(1)·f(2)……f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an. 例2．在数列{an}中，≥2），求. 解：由条件an－1, 收稿日期：2015-6-18 ; 修回日期 作者简介:从事1个式子相乘化简得：. 练习2.数列中,且,，求数列的通项. 3、构造法 （1）形如，其中为常数且的构造. 可用待定系数法,构造一个公比为的等比数列,令,经整理比较得,从而是一个公比为的等比数列. 例3．在数列{an}中，求. 解：在的两边同加待定数，得+（－1）/3），令得数列{是公比为3的等比数列, ∴an= 评析：把作为一个整体，求，通过求的通项，间接的求的通项公式. 若，则可以用累加法直接求通项. 练习3. 已知数列满足，，求的通项公式. （2）形如，且型的构造 可变形成，令，则，（此问题就转化成的模型求解）. 例4已知数列满足，，求的通项公式. 解：原式变型为，令，则（此问题就转化成的模型）……，解之得：. 评析：等式两边同除以，要注意的下标与指数变量同步，即：与，与，将问题转化到模型求解. （3），且型的构造 可用待定系数法构造，然后经整理比较得出，从而转化为型的构造. 例5已知数列满足，，求的通项公式. 解：设，解之得，， 则，令，则（此问题就转化成 的模型）……，解之得：. 评析：把作为一个整体，要注意的下标与一次变量同步，即：与，与，将问题转化到的模型求解. 类型(1)(2)(3)也可归纳到这类问题中，则还可通过同除，变形为，令，得，再通过累加得 . （4）形如的构造 可两边取对数得，令，得，所以该问题转化到模型求解. 例6数列中, ,,求 解：显然,对的两边同时取以为底的对数得, 令,则，（此问题就转化为模型）……，解之得：. 评析：由于数列是冪型数列，通过取对数将递推关系式转化为的模型, 若，可以用累乘法求通项. 例7已知数列与有如下关系： ， 求数列和的通项公式. 解：有已知得 ，且. 即，取对数得，即数列是首项为，公比为的等比数列. ，于是，从而. 评析：虽然数列不是冪型数列，但由此构造的数列是一个冪型，所以可以先求出数列的通项公式，再求数列的通项公式. （5）其它一些常见类型的构造 例8.数列满足,且,求数列的通项. 解：将原式两边同时除以,变形为. 令, 则（即可化为用累加方法求解）……，解之得： . 评析：通过同除，将递推关系式转化为累加型通项求法. 例9.已知各项都是正数的数列满足，，求数列的通项公式. 解：由已知得令，则有. 又，，从而.取对数得，令，得（此问题就转化为模型）……，解之得： 评析： 数列是一个二次递推数列，虽然不是基本冪型，但由它可以构造一个新的冪型数列，通过求的通项公式而达到求数列通项公式的目的. 4、因式分解法 当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an. 例10．已知数列满足（n∈），且有条件≥2）. 解：由得： 对n∈，再由待定系数法得： ∴ 5、求差法 数列有形如的关系（非递推关系），可考虑用求差后，再用其它初等方法求得 例11．设是正数组成的数列，其前项和为，并