第四一阶线性微分方程.pptVIP

* 第四节 一阶线性微分方程 一、线性方程 二、伯努利方程 形如 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是连续函数，且方程关于y及 是一次的，Q(x)是自由项. 一、线性方程 用常数变易法求方程(1)的通解.即把方程(2)的通解中的常数C换成x的未知函数u(x)，即 (方程(2)的通解) (C=0时方程(1)的特解) 即 一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下: 1、求对应于方程(1)的齐次方程(2)的通解 4、将第三步骤中求出的u(x)代入第二步骤中 的y的表达式，得到 2、设 ，并求出 3、将第二步骤中的y及 代入方程(1)，解出 例3 有连接A(0,1)、B(1,0)两点的一条凸曲线，它位于AB的上方，P(x,y)为该凸曲线上的任意一点，已知该曲线弧与AP之间的面积为x3，求该曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为y=f(x)， 根据题意有 两端同时对x求导，得 上式是一阶线性微分方程，利用公式得通解. 例4 有一个电路如图12?6所示，其中电源电动势为 电阻R和电感L都是常量.求电流i(t). 即 解 (i)列方程，当电流变化时，L上有感应电动势 由回路电压定律得出 k闭合的时刻为t=0,i(t)还应该满足初始条件 (ii)解方程 应用分部积分法，得 得方程(7)的通解 将初始条件代入上式，得 于是可写成 其中 当t增大 时，上式右端第一项(叫做暂态电流)逐渐衰减趋于零；第二项(叫做稳态电流)是正弦函数，它的周期和电动势的周期相同、而相角落后 . 二、伯努利方程 叫做伯努利(Bernoulli)方程； 以yn除方程(6)两端，得： 当n=0或n=1时，这是线性微分方程； 方程