第四一元函数积分学.pptVIP

第四章 一元函数积分学 一、原函数概念 定义一：设 f(x)是定义在区间D上的函数，若存在函数F(x)对任何x∈D,都有 F(x)’=f(x)(或df(x)=f(x)dx) 则称F(x)为f(x)在区间D上的原函数(简称为f(x)的原函数) 如:已知函数f(x)=sinx 函数F1(x)=-cosx和F2(x)=-cosx+2都是f(x)=sinx的原函数。 ∵(C’)=0, ∴F(x)=-cosx+C都是f(x)=sinx的原函数 注：一个函数的原函数若存在，则有无数个。 定理1，若F(x)是f(x)在某区间上的原函数，则F(x)+C(C为任意常数)包含了f(x)的全体原函数。 如：在任一点x处切线斜率为2x的曲线方程是y=x2+c 2、不定积分的定义 定义2，对于某区间D上的函数f(x)，若存在原函数，则称f(x)为可积函数，并将f(x)的全体原函数记为 ∫f(x)dx 称它是函数f(x)的不定积分,其中f(x)是被积函数,x是积分变量,∫是积分符号。 若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的不定积分为 ∫f(x)dx=F(x)+C(C称为积分常数) 注:(1)积分号∫表示对函数f(x)实行求原函数的运算,即要找出导函数等于已知函数f(x)的(原)函数F(x)+C (2)x是积分变量,它与用什么字母表示无关,所以 式中将x换成u仍成立,即 ∫f(u)du=F(u)+C (C为积分常数) (3)“求一个已知函数f(x)的全体原函数”可表示为: (4)求一个已知函数f(x)的全体原函数的方法为: ①先求一个原函数F(x)即F’(x)=f(x) ②再由 式即可求出全体原函数. 例1、已知曲线y=F(x)在任一点x处的切线斜率为2x，且曲线过(1,2)点，求此曲线方程： 解：由导数的几何意义知： k=F’(x)=2x ∵(x2)’=2x ∴F(x)=x2是2x的一个原函数。 ∴y=∫2xdx=x2+c 又曲线过 (1,2)点,把x=1,x=2代入上式得 2=12+C即C=1 所以,所求曲线方程为:y=x2+1 例2 经过调查发现,某产品的边际成本可由下列函数给出2q+3某中,q是产量数,已知生产的固定成本为2,求生产成本函数。 解：设所求生产成本函数为C(q)，由题知： C’(q)=2q+3 ∵(q2+3q)’=2q+3 ∴F(q)=q2+3q是2q+3的一个原函数 ∴C(q)=∫(2q+3)dq=q2+3q+c0(c0是积分常数) 由已知生产的固定成本为2,即生产是q=0时,成本是2,代入上式,得 C(0)=02+3·0+C0=3 得C0=2 所以,生产成本函数为:C(q)=q2+3q+2 二、积分基本公式 1、不定积分与导数(微分)之间的关系： 上式表明，求不定积分与求导(微分)是互逆的运算。 2、导数基本公式 积分基本公式 注：上述积分公式中x可以换成u。 举例： 三、基本积分法 1、不定积分的性质 性质1：两个函数之和(差)的不定积分，等于它们的不定积分之和(差)即 性质2：在求不定积分时，非0常数因子可以提到积分号外面。 即 2、直接积分法：得用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。 举例：书P155～157 例1：求下列不定积分。 由q=0,R(q)=0,知，C=0 因此，所求收入函数为 收入最大时的销售量是使 的q值，得q=64(q=0舍去)所以获得最大收入时的销售量为64(千件) 3、凑微分法(第一换元法) 由 应将微分dx凑成 使变量-改为3x，即 由 应将微分dx凑成 ，使变量一致变3x-1， 即 一般地，凑微分法是先将∫f(x)dx中的f(x)dx凑成微分形式(可统一变量的微分形式) 亦即第一换元法。 注：关键是将f(x)凑成f1(u(x)) ·u’(x)且∫f1(u(x))u’(x)dx可利用积分基本公式积出。 书P158～159 注：关键是将f(x)凑成f1(u(x)) ·u’(x)且∫f1(u(x)u’(x)dx)可利用积分基本公式积出. 书P158～159 例3:求下列不定积分: 解:(1)用凑微分法及积分基本公式 (2)用凑微分法及积分基本公式 (3)用凑微分法及积分基本公式 (4)凑微分法及积分基本公式 4、分部积分法 (1)分部积分公式 定理4.2设u(x)，v(x)是可微函数，则有 ∫u(x) ·v’(x)dx=u(x)v(x)-∫u’(x) ·v(x)dx 注:①分部积分公式简写为∫udv=uv-∫v