专题19坐标系与参数方程-高考数学（理）备考学易黄金易错点Word版含解析.docVIP

1．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； (2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα)(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|＝10，求l的斜率． 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0. 2．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin\a\vs4\al\co1(θ－\f(π4))－4＝0，求圆C的半径． 解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy. 圆C的极坐标方程为 ρ2＋22ρ\a\vs4\al\co1(\f(\r(2\r(22)cosθ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0. 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圆C的半径为6. 3．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线x＝t2，y＝t3)(t为参数)相交于A，B两点，求AB的长． 解　极坐标方程ρcosθ＝4的普通方程为x＝4， 代入x＝t2，y＝t3，) 得t＝±2，当t＝2时，y＝8； 当t＝－2时，y＝－8. 两个交点坐标分别为(4,8)，(4，－8)，从而AB＝16. 4．在直角坐标系中圆C的参数方程为x＝2cosαy＝2＋2sinα) (α为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程． 解　由参数方程消去α得圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 代入得(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，整理得ρ＝4sinθ. 5．已知曲线C：x＝3\r(3)cosθ，y＝\r(3)sinθ)(θ为参数)，直线l：ρ(cosθ－3sinθ)＝12. (1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程； (2)设点P在曲线C上，求P点到直线l的距离的最小值． 易错起源1、极坐标与直角坐标的互化 例1、在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值． 解　ρ(2cosθ＋sinθ)＝1， 即2ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为 2x＋y－1＝0， ρ＝a(a0)对应的普通方程为 x2＋y2＝a2. 在2x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝2)2. 将\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)2)，0)代入x2＋y2＝a2得a＝2)2. 【变式探究】在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长． 得x＝2y＝－4)或x＝18y＝12)， 所以A(2，－4)，B(18,12)， 所以AB＝?18－2?2＋[12－?－4?]2＝162. 即线段AB的长为162. 【名师点睛】 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 【锦囊妙计，战胜自我】 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图， 设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθy＝ρsinθ)，ρ2＝x2＋y2yx)?x≠0?. 易错起源2、参数方程与普通方程的互化 例2、在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋3cost，y＝－2＋3sint)(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2ρsin\a\vs4\al\co1(θ－\f(π4))＝m(m∈R)． (1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程； (2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值． 【变式探究】已知直线l的参数方程为x＝4－2t，y＝t－2)(t为参数)，P是椭圆x24＋y2＝1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值． 解　由于直线l的参数方程为x＝4－2t，y＝t－2)(t为参数)， 故直线l的普通方程为x＋2y＝0. 因为P为椭圆x24＋y2＝1上的任意一点， 故可设P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈R. 因此点P到直线l的距离是 d＝|2cosθ＋2sinθ|\r(12＋22)＝2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\4))))5. 所